Géométrie dans l'espace : Les pyramides

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Géométrie dans l’espace : Les pyramides

La progression proposée ci-dessous est indicative bien qu’elle ait été pensée de manière à être cohérente sur l’ensemble de l’année de 4ème. Rien n’empêche donc le professeur de la changer et d’utiliser les séquences et les activités dans un autre ordre, dans d’autres niveaux que la classe de 4ème.

Sommaire :

Section de cubes et de pyramides
Perspectives et patron de pyramides
Patrons et projeté du sommet
Volume et calcul de longueur
Approfondissement et synthèses

Sections de cubes et de pyramides

1. Introduction : Pourquoi commencer par l’étude des sections ?

Le travail sur la perspective et les sections est primordial avant de s’intéresser aux patrons. Ainsi, même si nous ne sommes pas sensés traiter des sections en classe de 4è, il nous apparaît nécessaire de le faire avant d’aborder l’étude des pyramides.

Le travail sur les sections d’un cube doit permettre à l’élève de "manipuler" la perspective cavalière et de faire le lien entre l’espace (le solide) et le plan (la section).
De plus, en étant confronté à des problèmes qui nécessiteront des justifications au sein de la classe, chaque élève devra appuyer son point de vue par des raisonnements assez naturels qui font appel aux figures semblables (par exemple, justifier l’égalité de deux longueurs comme étant deux diagonales de carrés de même dimension...).

Enfin, en classe de 4è, l’élève sera confronté à des problèmes de calcul de longueur dans l’espace. Cela représente souvent des difficultés importantes car il faut à la fois disposer d’une vision dans l’espace claire et maîtriser les théorèmes de géométrie plane, en particulier le théorème de Pythagore.
Bien souvent, la résolution de ces problèmes revient à chercher un triangle rectangle dans lequel se trouve la longueur que l’on doit calculer. Beaucoup d’élèves ne voient pas ce triangle même après correction. Cela provient sans doute du fait que ce triangle n’a pas d’existence matérielle pour l’élève.
Par contre, la section d’un solide a une existence plus palpable. Ainsi, si l’élève a pris l’habitude de considérer la longueur à calculer comme étant une longueur à l’intérieur d’une section, ces problèmes présenteront des difficultés moindres.

Par exemple : le calcul de la longueur de la diagonale d’un cube

Calcul de la diagonale comme étant l’hypoténuse d’un triangle rectangle

calcul de la diagonale comme étant la diagonale du rectangle qui sectionne le cube en deux morceaux identiques

2. Activités papiers : aborder les sections d’un cube

Il s’agit dans cette première activité d’associer les sections semblables. C’est une manière d’aborder les sections sans que les élèves aient à en tracer.

C’est l’occasion de constater que la perspective cavalière déforme, que deux figures planes de même dimensions peuvent être représentées différemment. Cela aboutit très vite à la nécessité de mettre en place des petits raisonnements afin de convaincre, en lieu et place des "Ça se voit" parce que justement ce n’est pas le cas. Ces raisonnements portent surtout sur la disposition des sommets de la section.

Dans cette 2è activité, il faut associer aux sections dessinées en perspective leurs tracés en vraie grandeur. Cette activité doit permettre de remplir plusieurs objectifs :

utiliser le compas pour reporter des longueurs d’une figure à l’autre. Un travail doit être effectué pour savoir quelles longueurs sont représentées en vraie grandeur dans un figure dessinée en perspective cavalière.
affiner les raisonnements qui devront porter cette fois sur les longueurs de figures semblables.

Le cas du losange mérite que l’on s’y arrête. En effet, il n’est pas si facile de convaincre de sa nature et surtout d’affirmer que ce n’est pas un carré... Pensez aux diagonales !!

La 2è partie de la question, qui consiste à écrire les dimensions de la section en fonction de a, est à aborder une fois que le théorème de Pythagore a été étudié et comme exercice de synthèse donc ultérieurement.

2. Activités papier : Tracé de sections de cubes et de pyramides

Les deux activités suivantes prennent le procédé inverse de la précédente. Ainsi, il faut cette fois tracer la section en perspective en connaissant celle-ci en vraie grandeur. Cette étape qui consiste à tracer est fondamentale pour progresser dans la maîtrise de la perspective. La vérification de la pertinence des tracés se fera au compas.

Perspectives et patron de pyramides

1. Activités papier : pyramides et patrons

Les deux activités suivantes permettent de faire le lien entre la représentation en perspective d’une pyramide et son patron en les associant l’une à l’autre. L’association peut se faire "à l’oeil" dans la plupart des cas, le choix se faisant principalement sur la forme des bases. En cas de doute, il peut être opportun d’inciter à l’utilisation du compas pour reporter les longueurs car les patrons et les solides sont tracés en vraie grandeur.

On peut aussi demander aux élèves de relier par des flèches les côtés du patron qui se correspondent. Ce travail force l’élève a mettre mentalement en volume les patrons et permet de justifier les égalités de longueur des segments qui le composent.

2. Activités papier : Des traces sur une pyramides

Ces deux activités permettent de renforcer le lien qui unit la pyramide tracée en perspective et son patron.

En effet, pour tracer les segments, il est nécessaire de repérer davantage de points sur les faces et cela sur les deux types de représentation.

3. Activités papier : Patron de pyramides

Dans cette série, l’élève doit tracer le dessin en perspective de la pyramide ou bien son patron.
C’est l’occasion d’installer définitivement le report de longueur au compas à partir de faces tracées en vraies grandeur, dans la construction du patron.

La dernière activité de cette série présente d’importantes difficultés car la pyramide est inscrite dans un pavé et que la figure n’est pas représentée en perspective cavalière. Elle est donc à réserver pour les élèves les plus avancés.

Dans cette série, le tracé des patrons ne se fait plus à partir d’un dessin en perspective de la pyramide mais à partir de consignes écrites et d’un certains nombres d’éléments déjà tracés.

Cela force l’élève à se représenter mentalement la pyramide et le force également à affiner ses techniques pour compléter le patron, puisqu’il ne peut plus aller chercher les longueurs manquantes sur le dessin en perspective ou sur la face tracée en vraie grandeur.

Patrons et projeté du sommet

1. Activités papier : projeté du sommet

Les deux activités proposées ont pour but de faire constater aux élèves que l’on peut avoir une idée précise de la position du sommet d’une pyramide en déterminant la position de son projeté orthogonal sur son patron.

Le travail sur le projeté du sommet permet non seulement de résoudre davantage de problème de construction de patron de pyramide (voir les activités du 2)) mais permet à l’élève de faire davantage le lien entre le patron et le solide. Ce lien est représenté par le projeté qui est un point du patron et qui "représente" le sommet qui est un objet caractéristique du solide.

Dans la 1ère activité, les pyramides sont toutes des pyramides à bases carrées. Ainsi, de manière naturelle, les élèves construisent le projeté du sommet comme étant l’intersection des droites joignant les points du patron représentant le sommet pour des faces opposées.

Il n’en va pas de même pour l’activité suivante où les bases sont désormais des polygones ayant un nombre impair de côtés (sauf pour un). L’élève devra donc généraliser ce qu’il a constaté dans la première activité pour pouvoir formuler le fait que le projeté se situe à l’intersection des droites perpendiculaires aux côtés de la base qui passe par les points du patron représentant le sommet de la pyramide.

2. Activités papier : application à la construction de patron

L’ensemble des activités proposées ne peuvent être résolues sans l’utilisation du projeté orthogonal du sommet.
Dans cette 1ère série, il s’agit de compléter les figures afin qu’elles deviennent des patrons de pyramide.

Dans cette deuxième série, on demande de construire le patron d’un pyramide connaissant la base et la position du projeté orthogonal du sommet sur celle-ci et la hauteur de la pyramide.

Pour les deux premières, il suffit de reporter la hauteur perpendiculairement au côté où se trouve le projeté du sommet. Ensuite, il suffit de compléter le patron.

Pour les suivantes, il faut tracer un triangle rectangle comme illustré ci-dessous :

Le triangle que l’on trace est souvent utilisé lors des calculs de la hauteur de la pyramide. Ainsi, en travaillant ce type de construction, on donne une existence concrète à ce triangle et sans doute facilitons-nous la compréhension des élèves.

Volume et calcul de longueur

1. Activités papier : Volumes de prismes

Cette activité aborde la question des volumes des pyramides tout en gardant une continuité avec les activités proposées dans cette leçon.

En effet, pour calculer les volumes de chacune des pyramides, il faut que l’élève identifie et représente en vraie grandeur la base de celle-ci. Ensuite, suivant la nature de cette base, il lui faut en calculer l’aire.

Pour les deux premiers solides, les bases sont des figures usuelles (triangle et parallélogramme). L’élève doit donc réinvestir ses connaissances sur les aires.

Pour les deux solides suivants, les aires des bases s’obtiennent par soustraction d’aire de figures usuelles (carrés et triangle rectangles)

2. Activités papier : Calcul de longueur

Les deux activités suivantes sont des problèmes complets où se mêle la géométrie dans l’espace et la géométrie plane.
En effet, pour chacune d’elles, il est d’abord demandé des tracés de faces en vraies grandeur puis d’une section particulière du tétraèdre afin de pouvoir mesurer la longueur cherchée.

Ensuite, il est demandé de retrouver ce résultat par le calcul en utilisant les propriétés de géométrie plane de 4è. Tous les calculs se placent dans les figures planes tracées précédemment.

Pour l’activité 1 :

propriété des droites remarquables dans un triangle isocèle
le théorème de Pythagore
la propriété de la droite des milieux dans un triangle

Pour l’activité 2 :

Position du centre de gravité dans un triangle équilatéral
le théorème de Pythagore

Approfondissement et synthèses

1. Activités papier : Minimiser un trajet sur une pyramide

Dans ces deux activités, il s’agit de minimiser une distance entre deux points particuliers placés sur deux faces d’une pyramide. Le principe est de construire un ou plusieurs patrons, d’y placer les points et de trouver le trajet qui minimise la distance.

2. Activités papier : Patrons de pyramides

Ici, il faut construire le patron d’une pyramide obtenue par un découpage du cube. Le seul outil à disposition est la face du cube en vraie grandeur.

3. Activités papier : curiosité

Cette activité de recherche traite de l’équilibre d’une pyramide. Tombera ou tombera pas ?

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