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Les nombres entiers au cycle 3


Sommaire :

  • Les fractions (à venir)

Lire et écrire les nombres entiers

I. Problèmes : Traités en classe oralement et collectivement

  1. On écrit en toutes lettres les nombres entiers de 1 à 100 : quel est le mot qui est écrit le plus souvent ? Combien de fois est-il écrit ?
  2. On écrit en toutes lettres les nombres entiers, quel est le plus grand nombre qui n’utilise pas deux fois la même lettre ?
  3. On écrit en toutes lettres les nombres entiers, quel est le premier nombre dans l’ordre alphabétique ?
  4. On écrit en toutes lettres les nombres entiers, quel est le premier nombre impair dans l’ordre alphabétique ?


II. Recherches : En salle informatique ou au CDI ou à domicile avec Internet ou encyclopédies ou....

  1. A l’occasion du problème 3, chercher les règles d’orthographe pour l’écriture des nombres.
  2. A l’occasion du problème 4, chercher comment on lit les grands nombres.

Voir par exemple les sites :


III. Synthèse : A rédiger en classe d’après les recherches réalisées

Règles d’orthographe et Lecture des grands nombres


IV. Récréation : En salle informatique

Visiter le site http://www.graner.net/nicolas/nombres/nom.php avec les notes de synthèses.


V. Applications : Travail écrit individuel avec l’aide des notes de synthèse.

  1. Ecrire avec des chiffres les nombres :
    • deux millions trois cent mille quatre cent vingt,
    • trois milliards vingt millions trente mille,
    • cinq billions deux cent mille millions sept cent mille six cent vingt.....
  2. Ecrire en toutes lettres les nombres :
    • 12 000 000
    • 1 200 000 000
    • 23 580 000 425
    • .....
  3. Qu’ont-ils de curieux ?
    • cent vingt-trois millions quatre cent cinquante-six mille sept cent quatre-vingt-neuf
    • cent vingt-trois millions quatre cent cinquante-quatre mille trois cent vingt et un
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Additionner et soustraire : À la découverte des carrés magiques

I. Recherches : En salle informatique ou au CDI ou à domicile avec Internet ou encyclopédies ou....

  1. Qui est Albrecht Dürer ?
  2. Qu’est ce que "Melancholia" ?

Melancholia de Albrecht Dürer (1514)


II. Activités : Oralement avec toute la classe

La mise en commun se fait oralement en suivant cette trame :

  • Afficher au rétroprojecteur l’image ; remarques.
  • Afficher le carré situé en haut à droite ; remarques.
  • Recopier ce carré sur le cahier.
  • Calculer si ce n’est fait la somme des nombres par ligne, colonne et sur les deux diagonales.

Notions rencontrées/vocabulaire : Carré magique, somme, somme magique

Melancholia détail


III. Problème : Recherche individuelle avant bilan collectif

Trouver le plus grand nombre possible de manières d’obtenir 34 en additionnant quatre des nombres du carré magique de Dürer, les nombres choisis devant être placés dans une situation particulière.

Notions rencontrées : Calcul mental

Eléments de réponse : Les 4 coins, le carré central, les carrés de chaque coin, etc...


IV. Problème : Recherche individuelle

Tracer un carré magique à 3 lignes et 3 colonnes en utilisant les nombres de 1 à 9.

Après avoir constaté la difficulté de la tâche demandée, on propose aux élèves de chercher d’abord quelle est la somme magique de ce carré.


V. Explications : La méthode d’Albrecht

Pour trouver la somme magique de son carré, voici comment a (vraisemblablement) procédé Albrecht :

  • il sait que la somme des nombres sur chaque ligne est la même ;
  • il sait que si on additionne quatre fois cette somme on aura la somme de tous les nombres du carré ;
  • la somme des nombres du carré est 1 +2 + ...+ 15 + 16 = 136
  • la somme magique est donc 136 : 4 = 34.


VI. Retour au problème : Recherche individuelle puis mise en commun à chaque étape

  1. Quelle est la somme magique pour un carré 3 x 3 ?
  2. Trouver toutes les façons d’obtenir 15 en additionnant 3 nombres entiers différents compris entre 1 et 9.
  3. Dans cette suite de calculs, combien de fois intervient chacun des nombres.
  4. En déduire la position de chaque nombre dans le carré magique.

Réponses ici


VII. Problème : Recherche individuelle

Compléter les carrés magiques de la feuille ci-contre.

Notions rencontrées : Equation a + x = b

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Additionner et soustraire : Somme des n premiers nombres entiers

I. Recherches : En salle informatique ou au CDI ou à domicile avec Internet ou encyclopédies ou....

Qui est Carl Friedrich Gauss ?


II. Lecture : En classe

Faire lire par un élève l’histoire du jeune Gauss l’extrait ci-contre du livre de Daniel Kehlmann : "Les arpenteurs du monde".


III. Problème : Oralement

Expliquer la méthode du petit Gauss pour calculer la somme des nombres entiers de 1 à 100.

Appliquer la même méthode pour calculer la somme des nombres entiers de 1 à 40 puis la somme des nombres entiers de 1 à 25.


IV. Explication : Une autre méthode

Le calcul de la somme des entiers de 1 à 25 a du poser quelques problèmes du fait de l’imparité du nombre 25.

Nous montrons alors que cette difficulté peut être effacée en utilisant la méthode suivante.


V. Problème : Recherche individuelle

Calculer la somme des nombres entiers de 1 à 50, de 1 à 75


VI. Synthèse : Dialogue classe-professeur

Formuler en français une méthode pour calculer la somme des nombres entiers de 1 à n ( n représentant un nombre entier quelconque).


On peut/doit arriver à une formulation de ce type :
"Pour trouver la somme des nombres entiers de 1 à n, on calcule la moitié du produit de n par son successeur".

On pourra alors tenter ( avec toutes les précautions possibles) de faire écrire ce résultat sous la forme :


VII. Problème : Recherche individuelle

  1. Calculer la somme magique d’un carré magique 20 x 20.
  2. Calculer la somme des nombres entiers de 10 à 100.
  3. Calculer la somme des nombres entiers de 25 à 100.
  4. Calculer la somme des 50 premiers nombres pairs.
  5. Calculer la somme des 50 premiers nombres impairs.
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Une narration de recherche : Le parcours numérique

Cette activité met en œuvre les notions étudiées précédemment. Elle peut être donnée en tant que telle comme application ou sous la forme d’une narration de recherche quelques semaines plus tard.

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Quelques activités supplémentaires

En complément du travail effectué précédemment, voici quelques activités permettant de travailler l’addition et la soustraction de nombres entiers.

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Pyramides et dessins
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Hexagrilles /1
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Hexagrilles /2


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Multiplication : Quelques activités autour des tables

Ces activités n’ont pour objectif que de revoir les tables. Elles sont présentées sous forme de petits problèmes.

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Tables
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Tables incomplètes
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Code secret


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Multiples

I. listes de multiples :

  1. Écris les 10 premiers multiples de 5
  2. Écris les 10 premiers multiples de 3
  3. Écris les 10 premiers multiples de 11
  4. Écris les multiples de 2 compris entre 405 et 413
  5. Écris les multiples de 50 compris entre 613 et 872
  6. Écris les multiples de 25 compris entre 346 et 632
  7. Écris les multiples de 9 compris entre 137 et 200

A l’issue de la correction de ces questions, on pourra faire le point sur les critère permettant de reconnaître les multiples de 2, 3, 5, 9, 10, 25, 50, 100 ...


II. Encadrer par des multiples :

  1. Encadre 37 par des multiples consécutifs de 5
  2. Encadre 45 par des multiples consécutifs de 7
  3. Encadre 30 par des multiples consécutifs de 9
  4. Encadre 35 par des multiples consécutifs de 4

Pour répondre à ces questions, l’élève doit faire appel à sa connaissance des tables de multiplication.
C’est aussi l’occasion de faire le point sur la notion d’encadrement et de travailler sur les différentes formes que l’on peut donner des multiples : sous forme de nombre ou/et sous forme d’un produit .


II. Écriture à l’aide de multiples :

  1. Écris 37 à l’aide de multiple de 5
  2. Écris 48 à l’aide de multiple de 7
  3. Écris 40 à l’aide de multiple de 6
  4. Écris 29 à l’aide de multiple de 9

La forme attendue des réponses est la suivante (des exemples devront sans doute être donnée avant) :

Là encore, il s’agit de mettre en œuvre les tables de multiplication tout en progressant avec les élèves sur la finesse d’utilisation des multiples.

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Vers la division

Pour cette partie, nous allons poser le même type de question que la partie précédente mais en sortant des tables et en utilisant graduellement des nombres moins aisés à utiliser.
L’idée est d’arriver progressivement à l’utilisation par les élèves d’une division en tant que méthode plus efficace que celle qui consiste à tester des multiplications. En principe, l’idée de la division arrive assez vite dans une classe. Il s’agira de ne pas précipiter et formaliser son utilisation trop tôt afin de laisser chaque élève l’adopter à son rythme. L’algorithme de la division pourra être revu à la demande de certains élèves.

Par exemple :

  1. Encadre 35 par deux multiples consécutifs de 6
  2. Encadre 167 par deux multiples consécutifs de 50
  3. Encadre 243 par deux multiples consécutifs de 25
  4. Encadre 146 par deux multiples consécutifs de 7
  5. Encadre 243 par deux multiples consécutifs de 7
  6. Encadre 1 103 par deux multiples consécutifs de 7
  7. Encadre 5 687 par deux multiples consécutifs de 25
  8. Encadre 15 436 par deux multiples consécutifs de 11

ou encore :

  1. Écris 116 à l’aide de multiple de 7
  2. Écris 1 128 à l’aide de multiple de 5
  3. Écris 4 329 à l’aide de multiple de 6
  4. Écris 15 424 à l’aide de multiple de 9

Dès que l’utilisation de la division semble être adoptée par l’ensemble (ou presque) des élèves, une formalisation concernant la division entière peut-être réalisée. Il nous apparaît important de lier la division entière à son écriture sous forme de produit :

En effet, cette écriture apporte, dans bien des cas, du sens et permettra ultérieurement d’aborder aisément la décomposition d’une fraction plus grande que 1.

Par exemple :

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Quelques activités recherche autour des multiples et des diviseurs

Les activités de recherche suivantes peuvent être utilisée à n’importe quel moment de la séquence sur les multiples. Certaines font même de bons problèmes pour une narration de recherche.

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Grilles chiffrées
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Quatre sets
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Six machine
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Carte bleue

Quelques autres énoncés ou variantes :

La marguerite

Sur une planète, poussent des fleurs géantes. Je cueille une marguerite qui a 6376 pétales et je l’effeuille, en disant pour le premier pétale "je t’aime", puis pour le deuxième "un peu", pour le troisième "beaucoup", pour le quatrième "passionnément", pour le cinquième "à la folie" et pour le sixième "pas tout". Au septième pétale, je recommence à "je t’aime".
Sur quel mot vais-je m’arrêter, lorsque j’aurai effeuillé les 6376 pétales ?


Carrelage 1

Nous disposons d’un rectangle de longueur 152 cm et de largeur 78 cm.
Combien puis-je mettre de carrés de 12 cm de côté à l’intérieur du rectangle ?
Est-ce que le rectangle est complètement rempli ?
Quels morceaux restent-t-il ?


Carrelage 2

Nous disposons d’un rectangle de longueur 95 cm et de largeur 57 cm.
Combien puis-je mettre de petits rectangles de longueur 5 cm et de largeur 4 cm à l’intérieur du grand rectangle ?
Est-ce que le grand rectangle est complètement rempli ?
Quels morceaux restent-t-il ?

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Calcul mental : Une progression

Les fiches suivantes proposent une progression de calcul mental traitant progressivement les différents points abordés dans les parties précédentes. Ces fiches sont fabriquées sous la forme de fiche auto-corrective permettant à l’élève de travailler seul. Elles sont aussi utilisable par l’enseignant sous la forme de question flash en début de chaque séance à raison d’un thème par semaine.

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Fiche 1
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Fiche 2
PDF - 68.9 ko
Fiche 3
PDF - 70.8 ko
Fiche 4
PDF - 70.7 ko
Fiche 5
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Fiche 6
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Fiche 7
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Fiche 8

Voici les thèmes abordés dans ces fiches ::

  • fiche 1 : additionner ou soustraire 1, 10, 100 ...
  • fiche 2 : compléments à 10, 100, 1000, 200, 300 ...
  • fiche 3 : ajouter ou soustraire 8 ou 9, ajouter ou soustraire des nombres se terminant par 8 ou 9.
  • fiche 4 : Les tables de multiplication de 3, 4, 5. Les facteurs de nombres se trouvant dans les tables de multiplication de 2, 3, 4 ,5. Le double d’un nombre. La moitié d’un nombre.
  • fiche 5 : Les tables de multiplication de 6, 7. Les facteurs de nombres se trouvant dans les tables de multiplication de 2, 3, 4 , 5, 6, 7. Encadrer un nombre par des multiples consécutifs de 2, 3, 4, 5, 6, 7.
  • fiche 6 : Les tables de multiplication de 8, 9. Les facteurs de nombres se trouvant dans toutes les tables de multiplication. Encadrer un nombre par des multiples consécutifs de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
  • fiche 7 : Le plus proche multiple de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 d’un nombre. Encadrer un nombre par des multiples consécutifs de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 écrits sous forme de produit.
  • fiche 8 : Écrire un nombre avec des multiples de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
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