IREM Paris Nord

Géométrie dans l'espace : Les prismes

S. Petitjean — 2025-04-28T10:22:45Z

Les activités proposées dans cette leçon ont pour objectif d'étudier le prisme de manière progressive. Tout au long des activités, le cube est omniprésent comme support. Ce choix s'est imposé de lui-même car le cube est à la fois le solide le plus familier et l'un des solides les plus riches par ses propriétés.

Vous pouvez télécharger un fichier regroupant l'ensemble des activités de cette leçon en cliquant sur ce lien : prisme 5è

Sommaire :

Prisme en perspective

1. Activités papier : Découverte du prisme

Cette activité a pour but de permettre a l'élève d'identifier les caractéristiques du prisme en proposant plusieurs vues d'un même solide. La recherche de l'intrus laisse une liberté importante quant à la méthode pouvant être utilisée.

La reprise de l'activité en classe entière donne lieu à un débat sur le tri qui a été effectué.
La justification par l'élève du choix de ses regroupements de solide ou de l'exclusion d'un solide est l'occasion de percevoir les caractéristiques du prisme et de revenir sur les règles de la représentation en perspective :

identification deux faces superposables dont le nombre de côté peut varier.
constat que les faces latérales sont des rectangles.
constat que la perspective déforme sauf sur les faces "avant" et "arrière"
utilisation de raisonnement à base de côtés et de figures "semblables"pour justifier des égalités de longueur ou la présence d'angles droits.

2. Activités papier : Représentation en perspective cavalière.

Ces deux activités permettent de travailler sur la représentation dans l'espace en obligeant l'élève à faire tourner les prismes mentalement puis à les représenter en perspective cavalière.

3. Activités papier : Une feuille de travail bien utile.

Des questionnements ou de l'incompréhension pouvant émerger lors des activités précédentes et des suivantes, l'utilisation de la feuille de travail ci-contre peut être très utile afin d'illustrer ses explications en organisant de petites activités concernant par exemple des égalités longueur ou des rotations de faces.

Perspective et patron

1. Activités papier : prismes et patrons

Les deux activités suivantes permettent de faire le lien entre la représentation en perspective d'un prisme et son patron en les associant l'une à l'autre.

La première activité se résout "à l'oeil". Les patrons n'étant pas tracés en vraie grandeur, le choix se fait principalement sur la forme des bases.
Pour la deuxième, les patrons sont tracés en vraie grandeur donc l'utilisation du compas, en cas de doute, est fortement conseillé.

On peut aussi demander aux élèves de relier par des flèches les côtés du patron qui se correspondent. Ce travail force l'élève a mettre mentalement en volume les patrons et permet de justifier les égalités de longueur des segments qui le composent.

2. Activités papier : Tracés de patrons

Les activités suivantes ont pour objectif le tracé de patrons de prisme.

La première fait la transition avec les activités précédentes. En effet, il faut tracer en perspective le prisme dont le patron est donné.
Dans les deux suivantes, il faut tracer un patron de prisme à partir de quelques éléments. Aucune représentation en perspective n'est donné.
Dans les deux dernières, Il faut tracer le patron d'un solide dont la représentation en perspective est donnée (perspective cavalière et trimétrique).

Ces activités sont l'occasion d'installer définitivement l'utilisation du compas pour les reports de longueur.

Volume de prisme et activités d'approfondissement

1. Activités papier : Volumes de prismes

Cette activité aborde la question des volumes des prismes tout en gardant une continuité avec les activités proposées dans cette leçon.

En effet, pour calculer les volumes de chacun des prismes, il faut que l'élève identifie et représente en vraie grandeur la base de celui-ci. Ensuite, suivant la nature de cette base, il lui faut en calculer l'aire.

Pour les deux premiers solides, les bases sont des figures usuelles (triangle et parallélogramme). L'élève doit donc réinvestir ses connaissances sur les aires.

Pour les deux solides suivants, les aires des bases s'obtiennent par soustraction d'aire de figures usuelles (carrés et triangle rectangles)

2. Activités papier : Approfondissement et synthèse

Les trois activités proposées abordent graduellement la construction de patron de prisme obtenus par la section d'un solide. Elles font donc la synthèse des activités précédentes quant à la construction de patron à l'aide du compas et nécessite une solide vision dans l'espace.

Géométrie dans l'espace : Les pyramides

S. Petitjean — 2025-04-27T17:10:49Z

La progression proposée ci-dessous est indicative bien qu'elle ait été pensée de manière à être cohérente sur l'ensemble de l'année de 4ème. Rien n'empêche donc le professeur de la changer et d'utiliser les séquences et les activités dans un autre ordre, dans d'autres niveaux que la classe de 4ème.

Sommaire :

Sections de cubes et de pyramides

1. Introduction : Pourquoi commencer par l'étude des sections ?

Le travail sur la perspective et les sections est primordial avant de s'intéresser aux patrons. Ainsi, même si nous ne sommes pas sensés traiter des sections en classe de 4è, il nous apparaît nécessaire de le faire avant d'aborder l'étude des pyramides.

Le travail sur les sections d'un cube doit permettre à l'élève de "manipuler" la perspective cavalière et de faire le lien entre l'espace (le solide) et le plan (la section).
De plus, en étant confronté à des problèmes qui nécessiteront des justifications au sein de la classe, chaque élève devra appuyer son point de vue par des raisonnements assez naturels qui font appel aux figures semblables (par exemple, justifier l'égalité de deux longueurs comme étant deux diagonales de carrés de même dimension...).

Enfin, en classe de 4è, l'élève sera confronté à des problèmes de calcul de longueur dans l'espace. Cela représente souvent des difficultés importantes car il faut à la fois disposer d'une vision dans l'espace claire et maîtriser les théorèmes de géométrie plane, en particulier le théorème de Pythagore.
Bien souvent, la résolution de ces problèmes revient à chercher un triangle rectangle dans lequel se trouve la longueur que l'on doit calculer. Beaucoup d'élèves ne voient pas ce triangle même après correction. Cela provient sans doute du fait que ce triangle n'a pas d'existence matérielle pour l'élève.
Par contre, la section d'un solide a une existence plus palpable. Ainsi, si l'élève a pris l'habitude de considérer la longueur à calculer comme étant une longueur à l'intérieur d'une section, ces problèmes présenteront des difficultés moindres.

Par exemple : le calcul de la longueur de la diagonale d'un cube

Calcul de la diagonale comme étant l'hypoténuse d'un triangle rectangle

calcul de la diagonale comme étant la diagonale du rectangle qui sectionne le cube en deux morceaux identiques

2. Activités papiers : aborder les sections d'un cube

Il s'agit dans cette première activité d'associer les sections semblables. C'est une manière d'aborder les sections sans que les élèves aient à en tracer.

C'est l'occasion de constater que la perspective cavalière déforme, que deux figures planes de même dimensions peuvent être représentées différemment. Cela aboutit très vite à la nécessité de mettre en place des petits raisonnements afin de convaincre, en lieu et place des "Ça se voit" parce que justement ce n'est pas le cas. Ces raisonnements portent surtout sur la disposition des sommets de la section.

Dans cette 2è activité, il faut associer aux sections dessinées en perspective leurs tracés en vraie grandeur. Cette activité doit permettre de remplir plusieurs objectifs :

utiliser le compas pour reporter des longueurs d'une figure à l'autre. Un travail doit être effectué pour savoir quelles longueurs sont représentées en vraie grandeur dans un figure dessinée en perspective cavalière.
affiner les raisonnements qui devront porter cette fois sur les longueurs de figures semblables.

Le cas du losange mérite que l'on s'y arrête. En effet, il n'est pas si facile de convaincre de sa nature et surtout d'affirmer que ce n'est pas un carré... Pensez aux diagonales !!

La 2è partie de la question, qui consiste à écrire les dimensions de la section en fonction de a, est à aborder une fois que le théorème de Pythagore a été étudié et comme exercice de synthèse donc ultérieurement.

2. Activités papier : Tracé de sections de cubes et de pyramides

Les deux activités suivantes prennent le procédé inverse de la précédente. Ainsi, il faut cette fois tracer la section en perspective en connaissant celle-ci en vraie grandeur. Cette étape qui consiste à tracer est fondamentale pour progresser dans la maîtrise de la perspective. La vérification de la pertinence des tracés se fera au compas.

Perspectives et patron de pyramides

1. Activités papier : pyramides et patrons

Les deux activités suivantes permettent de faire le lien entre la représentation en perspective d'une pyramide et son patron en les associant l'une à l'autre. L'association peut se faire "à l'oeil" dans la plupart des cas, le choix se faisant principalement sur la forme des bases. En cas de doute, il peut être opportun d'inciter à l'utilisation du compas pour reporter les longueurs car les patrons et les solides sont tracés en vraie grandeur.

2. Activités papier : Des traces sur une pyramides

Ces deux activités permettent de renforcer le lien qui unit la pyramide tracée en perspective et son patron.

En effet, pour tracer les segments, il est nécessaire de repérer davantage de points sur les faces et cela sur les deux types de représentation.

3. Activités papier : Patron de pyramides

Dans cette série, l'élève doit tracer le dessin en perspective de la pyramide ou bien son patron.
C'est l'occasion d'installer définitivement le report de longueur au compas à partir de faces tracées en vraies grandeur, dans la construction du patron.

La dernière activité de cette série présente d'importantes difficultés car la pyramide est inscrite dans un pavé et que la figure n'est pas représentée en perspective cavalière. Elle est donc à réserver pour les élèves les plus avancés.

Dans cette série, le tracé des patrons ne se fait plus à partir d'un dessin en perspective de la pyramide mais à partir de consignes écrites et d'un certains nombres d'éléments déjà tracés.

Cela force l'élève à se représenter mentalement la pyramide et le force également à affiner ses techniques pour compléter le patron, puisqu'il ne peut plus aller chercher les longueurs manquantes sur le dessin en perspective ou sur la face tracée en vraie grandeur.

Patrons et projeté du sommet

1. Activités papier : projeté du sommet

Les deux activités proposées ont pour but de faire constater aux élèves que l'on peut avoir une idée précise de la position du sommet d'une pyramide en déterminant la position de son projeté orthogonal sur son patron.

Le travail sur le projeté du sommet permet non seulement de résoudre davantage de problème de construction de patron de pyramide (voir les activités du 2)) mais permet à l'élève de faire davantage le lien entre le patron et le solide. Ce lien est représenté par le projeté qui est un point du patron et qui "représente" le sommet qui est un objet caractéristique du solide.

Dans la 1ère activité, les pyramides sont toutes des pyramides à bases carrées. Ainsi, de manière naturelle, les élèves construisent le projeté du sommet comme étant l'intersection des droites joignant les points du patron représentant le sommet pour des faces opposées.

Il n'en va pas de même pour l'activité suivante où les bases sont désormais des polygones ayant un nombre impair de côtés (sauf pour un). L'élève devra donc généraliser ce qu'il a constaté dans la première activité pour pouvoir formuler le fait que le projeté se situe à l'intersection des droites perpendiculaires aux côtés de la base qui passe par les points du patron représentant le sommet de la pyramide.

2. Activités papier : application à la construction de patron

L'ensemble des activités proposées ne peuvent être résolues sans l'utilisation du projeté orthogonal du sommet.
Dans cette 1ère série, il s'agit de compléter les figures afin qu'elles deviennent des patrons de pyramide.

Dans cette deuxième série, on demande de construire le patron d'un pyramide connaissant la base et la position du projeté orthogonal du sommet sur celle-ci et la hauteur de la pyramide.

Pour les deux premières, il suffit de reporter la hauteur perpendiculairement au côté où se trouve le projeté du sommet. Ensuite, il suffit de compléter le patron.

Pour les suivantes, il faut tracer un triangle rectangle comme illustré ci-dessous :

Le triangle que l'on trace est souvent utilisé lors des calculs de la hauteur de la pyramide. Ainsi, en travaillant ce type de construction, on donne une existence concrète à ce triangle et sans doute facilitons-nous la compréhension des élèves.

Volume et calcul de longueur

1. Activités papier : Volumes de prismes

Cette activité aborde la question des volumes des pyramides tout en gardant une continuité avec les activités proposées dans cette leçon.

En effet, pour calculer les volumes de chacune des pyramides, il faut que l'élève identifie et représente en vraie grandeur la base de celle-ci. Ensuite, suivant la nature de cette base, il lui faut en calculer l'aire.

Pour les deux premiers solides, les bases sont des figures usuelles (triangle et parallélogramme). L'élève doit donc réinvestir ses connaissances sur les aires.

Pour les deux solides suivants, les aires des bases s'obtiennent par soustraction d'aire de figures usuelles (carrés et triangle rectangles)

2. Activités papier : Calcul de longueur

Les deux activités suivantes sont des problèmes complets où se mêle la géométrie dans l'espace et la géométrie plane.
En effet, pour chacune d'elles, il est d'abord demandé des tracés de faces en vraies grandeur puis d'une section particulière du tétraèdre afin de pouvoir mesurer la longueur cherchée.

Ensuite, il est demandé de retrouver ce résultat par le calcul en utilisant les propriétés de géométrie plane de 4è. Tous les calculs se placent dans les figures planes tracées précédemment.

Pour l'activité 1 :

propriété des droites remarquables dans un triangle isocèle
le théorème de Pythagore
la propriété de la droite des milieux dans un triangle

Pour l'activité 2 :

Position du centre de gravité dans un triangle équilatéral
le théorème de Pythagore

Approfondissement et synthèses

1. Activités papier : Minimiser un trajet sur une pyramide

Dans ces deux activités, il s'agit de minimiser une distance entre deux points particuliers placés sur deux faces d'une pyramide. Le principe est de construire un ou plusieurs patrons, d'y placer les points et de trouver le trajet qui minimise la distance.

2. Activités papier : Patrons de pyramides

Ici, il faut construire le patron d'une pyramide obtenue par un découpage du cube. Le seul outil à disposition est la face du cube en vraie grandeur.

3. Activités papier : curiosité

Cette activité de recherche traite de l'équilibre d'une pyramide. Tombera ou tombera pas ?

Présentation de Rubricamaths

S. Petitjean — 2024-02-08T09:40:52Z

Rubricamaths est le site d'activités informatiques de l'IREM Paris-Nord. Cet article présente les différents types d'activités du site, leurs objectifs dans l'acquisition de connaissances mathématiques et les pratiques de leur mise en œuvre.
Cet article est une synthèse de plusieurs publications et interventions :

l'article Faire des mathématiques en étroite interaction avec le site Rubricamaths paru dans la revue Sésamaths en mai 2020 (suivre ce lien) et paru dans la rubrique multimédia du numéro 119 des repères-IREM (suivre ce lien)
l'animation d'un atelier ayant eu lieu lors de la journée de la régionale d'Île-de-France de l'APMEP d'octobre 2020 (suivre ce lien)

Cet article peut être mis à jour régulièrement.

Auteurs : Stéphan Petitjean et Erwan Adam

Sommaire :

Présentation

Rubricamaths est le site d'activités informatiques de l'IREM Paris-Nord. Il a été mis en ligne au début de l'année 2016 et il est régulièrement enrichi. Les activités proposées sont majoritairement conçues avec le logiciel GeoGebra mais certaines le sont aussi avec les logiciels DGPad , LibreofficeCalc, GéoTortue ou encore Snap !. Elles sont adaptées principalement aux élèves de collège, mais certaines d'entre elles sont utilisables à l'école et au lycée.

Le site comporte six rubriques mathématiques distinctes et une rubrique consacrée aux logiciels GéoTortue et Snap !. Chaque rubrique comporte des sous-rubriques qui contiennent les activités. Ainsi, toutes les activités du site sont accessibles en trois clics.

La création de ce site est venue du besoin de regrouper sur une même interface l'ensemble des activités dispersées sur le site de l'IREM Paris-Nord et d'en faciliter ainsi l'accès aux enseignants et aux élèves. Le site est conçu pour être utilisable avec tous les navigateurs Web, sur ordinateur et sur tablette. Il en est de même des activités proposées qui pour la plupart peuvent être utilisées directement en ligne, ou avec le logiciel dédié installé en local. Cette facilité d'accès permet, avec peu de logistique pour l'enseignant, de travailler avec ses élèves sur des activités informatiques disponibles tout le temps et n'importe où, que se soit en salle informatique, en classe ou encore à la maison. Rubricamaths a donc été pensé pour lever au maximum les obstacles de l'utilisation des activités informatiques dans le cadre scolaire. Mais ceci ne doit pas occulter les questions que l'on doit se poser avant de proposer ce type d'activités à ses élèves : pourquoi proposer des activités informatiques ? Et pourquoi celles se trouvant sur Rubricamaths en particulier ?

D'abord, une activité, qu'elle soit informatique ou non, a pour objectif principal de permettre aux élèves d'acquérir des savoirs, de leur faire comprendre une ou plusieurs notions. Nous sommes persuadés que ceci ne peut se faire qu'avec une implication importante des élèves dans le travail proposé. Ainsi, les activités que nous avons développées dans Rubricamaths ont été pensées pour être de véritables activités mathématiques. Nous entendons par là des situations-problèmes dans lesquelles l'élève est invité à tâtonner, à essayer, à se tromper, à recommencer, à faire des conjectures, à développer des stratégies et, chemin faisant, à apprendre des mathématiques. La plupart du temps, il y a de très nombreuses façons de résoudre ces problèmes. Il ne s'agit donc pas, on l'aura compris, d'exercices dans lesquels on demande aux élèves d'appliquer un algorithme qu'on leur aurait enseigné : cette démarche, qui est déjà très développée sur Internet, a son intérêt pour consolider des apprentissages techniques, mais la nôtre est radicalement différente : elle s'attache à donner du sens aux notions mathématiques. Ces activités ne sont pas non plus du type de ce qu'on peut trouver dans la plupart des manuels sous l'intitulé « activité » , où l'élève doit seulement faire ce qu'on lui dit de faire et constater ce qu'on veut qu'il constate. Pour nous, une activité doit être conçue d'abord pour susciter l'intérêt, la curiosité de l'élève : par une présentation attrayante, par des consignes minimalistes et par une possibilité de mise en activité immédiate. Ensuite, elle doit poser un problème qui, une fois résolu, permet aux élèves de retirer une forme de satisfaction. Enfin, elle doit donner aux élèves la possibilité de construire progressivement un savoir. Les activités informatiques que nous proposons sont conçues dans cet esprit.

De plus, l'activité informatique n'a de réel intérêt que si son utilisation apporte une plus-value par rapport au papier. Cette plus-value peut prendre plusieurs formes. D'abord, l'ordinateur « parle mathématique » comme disait Seymour Pappert, le père du langage LOGO : nous avons exploité cela dans les activités développées sur GéoTortue , mais ce serait trop long d'en parler ici. Ensuite, l'informatique permet de faire bouger soi-même des objets à l'écran. Ce dynamisme permet la manipulation d'objets qui serait impossible sur papier. Il permet aussi d'essayer, de vérifier, de tester, de se tromper : il favorise ainsi la recherche, la conjecture et la prise d'initiative. De plus, l'informatique rend possible la création d'activités auto-correctives ce qui permet l'auto-évaluation et favorise donc l'autonomie des élèves dans la résolution de problèmes. Enfin, le site permet de faciliter la gestion de l'hétérogénéité des élèves en proposant sur le même support de nombreuses activités de difficultés progressives sur un même thème. Ce sont ces différents points que nous allons développer dans la suite de l'article tout en nous attachant à les illustrer par des activités portant sur des thèmes qui nous tiennent particulièrement à cœur : la notion de variable et l'éducation de l'œil en géométrie, en deux et en trois dimensions.

Des activités dynamiques et manipulables pour mieux visualiser

L'apport de l'informatique en géométrie plane et en géométrie dans l'espace est indéniable par le simple fait que l'on peut déplacer les objets qui constituent la figure ou le solide. De plus, particulièrement en 3D, GeoGebra offre la possibilité de déplacer de manière très intuitive l'espace graphique.

Par exemple, l'activité nommée Tétrakaidécaèdre se présente de la manière suivante :

Il est demandé dans un premier temps aux élèves de compter le nombre sommets, de faces et d'arêtes du solide, des zones de saisie et de validation leur permettant de vérifier leurs réponses. Puis, il leur est demandé de déterminer la nature des faces.

Cette activité n'est rendue possible que parce que l'espace 3D de GeoGebra est dynamique, ce qui permet à l'élève de manipuler le solide à sa guise en changeant le point de vue de la caméra. Ainsi, il peut se former une image mentale de celui-ci dans sa globalité, avant de se mettre à compter. La seule alternative à ce genre d'activité est de mettre des solides réels entre les mains des élèves, mais cela demanderait une importante logistique pour pouvoir occuper tout les élèves d'une classe.

D'autres solides sont disponibles aux côtés de celui-ci dans la rubrique Visualiser des solides et un article détaillant davantage les objectifs pédagogiques de cette activité, intitulé Visualiser dans l'espace pour dénombrer se trouve sur le site de l'IREM. Ces activités peuvent être réalisées à tous les niveaux du collège.

Des activités dynamiques pour favoriser la prise d'initiative

L'un des soucis récurrents que l'enseignant rencontre lorsqu'il propose des problèmes à ses élèves, quelle que soit la manière dont on les nomme (tâches complexes, problèmes à prises d'initiative, problèmes non triviaux, problèmes de recherche …) est la passivité d'un certain nombre d'élèves, qui semblent totalement démunis face au problème posé. Que ce soit une difficulté pour extraire l'information d'un texte ou d'une figure, que ce soit la mobilisation de trop de compétences en même temps ou la mobilisation d'une compétence qui n'est pas acquise par l'élève, que ce soit l'absence d'une vision même partielle de la réponse, les raisons de cette passivité sont multiples et dépendent des individus.

On sait de plus qu'il n'y a pas de méthode universelle pour chercher et encore moins pour résoudre un problème, qu'il y a surtout des attitudes à avoir face à ceux-ci. Or ces attitudes sont rarement enseignées. Notre tâche consiste donc à créer des conditions favorables pour susciter la mise en activité de l'élève : une situation qui motive (par son contexte, par le thème abordé), une progressivité de la difficulté dans les problèmes proposés, des énoncés qui en favorisent une entrée rapide (par une figure, par des essais calculatoires). Les activités informatiques que nous proposons permettent tout cela. Prenons comme exemple un problème conduisant à la production d'une expression littérale, l'un des domaines les plus ardus pour des élèves de collège (et pour les années suivantes). L'activité nommée Le carré écorné violet , se présente de la manière suivante :

L'objectif final de cette activité est de produire l'expression de l'aire et du périmètre de la figure en fonction de n. Plusieurs éléments incitent à la mise en activité des élèves :

la variable est manipulable par l'élève. Elle est représentée par un curseur qui prend des valeurs discrètes. La figure se transforme en fonction des valeurs prises par la variable.
un tableur dont les cellules sont auto-correctives (validation par couleur) et sont des zones de calcul formel, ce qui permet de valider toutes les expressions correctes quelle que soit leur forme, qu'elles soient numériques ou littérales. Cela permet aux élèves de :

tester leurs réponses numériques sur les premières étapes (1 à 10), puis sur des nombres plus grand (100 et un nombre aléatoire)
conjecturer leur expression littérale. Une formule de tableur peut être insérée.
vérifier leur expression littérale en fonction de n.

Pour visualiser davantage les éléments décrits précédemment, une vidéo est disponible en suivant ce lien.

Dans cette activité, l'informatique permet donc une véritable mise en activité en rendant possible la manipulation de la variable et de la figure ce qui est difficilement possible sur papier. L'élève est rassuré par la validation automatique de ses réponses à chaque étape, cela lui permet de passer progressivement d'une stratégie de comptage à une stratégie de calcul. Enfin, il découvre ainsi la liberté de suivre son raisonnement personnel, jusqu'à la production d'une expression littérale correcte. Le fait que les élèves soient tous très occupés lorsqu'il travaillent sur cette activité, permet en outre à l'enseignant d'être disponible pour guider ceux qui en ont besoin.

D'autres figures sont disponibles aux côtés de celle-ci, dans la rubrique Une variable discrète et un article détaillant davantage les objectifs pédagogiques de cette activité se trouve sur le site de l'IREM : Une variable discrète. Ces activités sont plutôt destinées aux élèves de cycle 4 mais on peut commer dès la classe de 6è sans excès de formalisation.

Des activités dynamiques pour exercer l'œil et acquérir des réflexes

Les activités contenue dans la rubrique Le Compas dans l'œil consiste à entraîner l'œil à voir des lignes non tracées. Elles se présentent toutes de la même façon : l'élève doit cliquer au jugé pour placer un point comme une intersection de droites qui ne sont pas tracées entièrement, un centre de cercle ou d'arc de cercle, l'image d'un point dans une symétrie, etc.

Par exemple, l'activité Symétrique d'un point se présente de la manière suivante :

Dans cette activité, l'élève doit placer le symétrique d'un point donné par rapport à une droite donnée. Un simple clic pour placer le point désiré déclenche la visualisation de la bonne réponse, l'évaluation d'un score et le passage à la prochaine situation. L'élève peut donc petit à petit améliorer sa précision et sa dextérité en se formant une image mentale claire du symétrique d'un point. Cette activité permet aussi de travailler le tracé de perpendiculaire, l'évaluation du milieu d'un segment et le tracé de médiatrice.

De manière plus générale, dans cette série d'activités, l'objectif de cet entraînement est double : d'abord, il facilite l'apprentissage de toutes les constructions géométriques — l'élève qui a déjà dans l'œil la position de la perpendiculaire n'a aucun mal à placer son équerre pour la construire — ensuite il prépare à l'abstraction en rendant les élèves capables de parler de lignes géométriques qui ne sont pas visibles. Il développe aussi par ces activités des compétences utiles en dessin, en particulier une bonne intuition des proportions.

Ces activités sont conçues pour être faites rapidement de façon à multiplier les essais. Elles peuvent par exemple être proposées en début d'heure en salle informatique, pendant 10 minutes — au-delà, il faut ménager une pause pour les yeux. On peut aussi demander aux élèves qui le peuvent de s'entraîner à la maison. Les progrès des élèves, même en quelques séances de 10 minutes, sont rapides et visibles pour eux (par le score).

Des activités dynamiques pour conjecturer

L'un des intérêts de l'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique est l'aide qu'il peut apporter dans la conjecture d'une propriété. En effet, le fait de pouvoir déplacer un certain nombre d'objets permet de repérer plus facilement les invariants d'une situation. Cet aspect est largement utilisé par les enseignants dans leur classe.

Ici, nous nous attacherons à montrer qu'une activité bien conçue avec Geogebra peut faciliter la conjecture et ainsi la compréhension de situation complexes.

Nous prendrons pour exemple l'activité Quadrilatères et diagonales qui se présente de cette manière :

Nous disposons de deux segments pour lesquels nous pouvons agir sur les longueurs (curseurs), l'orientation (points jaunes) et la position sur l'écran (points rouges). Nous nous apercevons rapidement que ces deux segments sont les diagonales d'un quadrilatère et qu'il nous faut les disposer de manière à obtenir des quadrilatères particuliers : parallélogramme, rectangle, trapèze…
Pour aider à disposer les segments dans les positions adéquates, les points rouges placés au milieu des diagonales sont aimantés à l'autre diagonale. L'angle droit entre deux diagonales est lui aussi aimanté de manière à être obtenu facilement.

Ainsi, l'élève a tout loisir d'expérimenter, d'essayer jusqu'à obtenir une figure qui le satisfasse. Lorsqu'il pense avoir trouvé l'une des figures demandées, par exemple le rectangle, il lui est demandé d'écrire une propriété caractéristique qui correspond à la situation : « un quadrilatère ayant ses diagonales qui ont le même milieu et qui sont de même longueur est un rectangle ».

C'est ce travail de rédaction qui nous semble important car il permet de vérifier si l'élève a compris. En effet, les figures en elles-mêmes sont assez faciles à trouver par essais successifs. En revanche, il ne sera pas rare de voir les élèves écrire :

« un quadrilatère ayant quatre angles droits est un rectangle » (1)
« un quadrilatère ayant ses diagonales de même longueur est un rectangle » (2)
« le rectangle a ses diagonales de même longueur et qui se coupent en leur milieu » (3)

Dans chacune des affirmations précédentes, il est possible pour l'enseignant d'infirmer la proposition erronée ou incomplète de l'élève en précisant de nouveau qu'elles sont les données de départ et en manipulant sa figure comme illustrer ci-dessous :

Ainsi :

L'affirmation (1) est contredite par ce qui est mis à disposition de l'élève, à savoir les diagonales. La propriété produite par l'élève est donc correcte mais hors-sujet. Si lui faire remarquer ne suffit pas, la manipulation devant lui des différents degrés de liberté de la figure peut permettre de le convaincre car ce qui reste fixe est alors plus visible.

L'affirmation (2) peut facilement être infirmée en disposant les diagonales comme dans la propriété proposée, c'est-à-dire sans que les diagonales se coupent en leur milieu. Le quadrilatère obtenu n'étant pas un rectangle, nous faisons prendre conscience à l'élève que sa propriété est incomplète. Nous pouvons alors l'aider à la formuler correctement.

L'affirmation (3) est plus difficile à contredire puisque l'élève a écrit une propriété, juste au demeurant (un rectangle a bien ses diagonales de même longueur et qui se coupent en leur milieu), et non une propriété caractéristique, c'est-à-dire une propriété avec des conditions nécessaires et suffisantes permettant d'obtenir la figure demandée (un quadrilatère ayant ses diagonales de même longueur et qui se coupent en leur milieu est nécessairement un rectangle). Ici, nous rentrons au cœur même de l'activité et les élèves vont avoir des degrés de compréhension très hétérogènes de cette notion. Certains d'entre eux ne parviendront d'ailleurs pas à s'en faire une idée claire après avoir effectué cette activité tant cette notion demande un degré d'abstraction important. Il faut donc faire attention à ne pas laisser l'élève passer trop de temps sur la même situation et à ne pas insister de manière trop poussée sur les formulations car cela pourrait s'avérer contre-productif.

D'autres fichiers du même genre permettant de travailler sur les propriétés caractéristiques sont disponibles dans la rubrique : Quadrilatères et Parallélogrammes

Des fichiers auto-correctifs pour favoriser l'autonomie des élèves

Dans l'exemple précédent, nous avons vu, entre autres, que l'informatique permet de rassurer les élèves lors d'une démarche longue et parfois difficile, en rendant possible la validation immédiate de réponses intermédiaires. Cette capacité de validation instantanée peut aussi être utilisée pour acquérir des réflexes, des techniques, exercer l'œil en géométrie…

Par exemple, l'activité nommée Isométrie (niveau 1) :

L'objectif est de construire l'image de l'ouvrier en couleur par la transformation donnée. Pour cela, l'ouvrier bleu doit être déplacé à l'aide de la souris dans la bonne position. Trois actions sont possibles sur cette figure bleue en utilisant les deux points rouges de cette figure et la case à cocher « Retourner » située en haut de l'écran.

Lorsque l'élève pense avoir bien placé l'ouvrier bleu, il valide sa réponse. Immédiatement, la bonne réponse apparaît en rouge et un score s'inscrit dans le tableur. Une nouvelle situation apparaît alors, dépendant du choix de transformations sélectionnées à l'aide des cases à cocher situées sur la gauche du fichier.

Pour visualiser davantage les éléments décrits précédemment, une vidéo est disponible en suivant ce lien.

Ici, l'informatique permet de construire un nombre très important d'images par une ou plusieurs transformations choisies en un temps très limité, tout en ayant une correction immédiate. Cela permet donc d'affiner les images mentales de chacune des transformations, l'alternance des situations permettant de repérer les mouvements spécifiques à chacune d'entre elles. Par rapport à des situations similaires données sur un support papier, l'erreur a peu de conséquences, puisqu'on passe immédiatement à une autre situation sans avoir à gommer et recommencer. De plus, la correction immédiate permet aux élèves de s'auto-évaluer. Lorsqu'ils pensent être à l'aise avec ce fichier, d'autres, plus difficiles, peuvent leurs être proposés. Ce fichier incite donc les élèves à la tentative et à l'autonomie.

Des fichiers sur le thème des transformations sont disponibles dans la rubrique Transformer à l'œil, ils peuvent être utilisés tout au long du collège. D'autres fichiers de géométrie mentale se trouvent dans la rubrique Le compas dans l'oeil.

Des séries d'activités pour gérer l'hétérogénéité des élèves

Les activités présentées précédemment ne sont jamais proposées seules, elles sont imaginées et organisées en série de manière à permettre aux professeurs de proposer des activités adaptées à leur élèves. Ainsi, lors d'une séance en salle informatique, l'utilisation de Rubricamaths rend simple et naturel le travail de chaque élève dans sa « zone proximale de développement » : aucun élève en échec devant une tâche insurmontable pour lui, aucun élève plongé dans l'ennui d'une répétition de tâches trop simples pour lui. Une grande partie des élèves étant occupée avec une activité adaptée, l'enseignant est davantage disponible pour les élèves qui en ont besoin. Cette liberté offerte à l'enseignant est aussi celle des élèves : placés devant un large choix d'activités sur un thème donné, ils peuvent, dans les limites fixées par le professeur, choisir celle qui les motive le plus.

De plus, les progressions à l'intérieur de chaque série sont le fruit de l'usage et de l'expérimentation en classe. Elles sont donc finement adaptées aux difficultés que peuvent rencontrer certains élèves sur ce type d'activité.

Par exemple, les cinq premières sous-rubriques de la rubrique Les bases de la géométrie avec GeoGebra ou DGPad, regroupent 43 activités de même nature. Voici un aperçu de l'activité Cube écorné située en milieu de progression :

La consigne est simple et reste la même pour toutes les activités de cette série : reproduire la figure à partir des points existants en utilisant les outils à disposition. Il y a bien sûr beaucoup d'implicite dans la consigne, il faut donc commencer par des activités plus triviales et ne pas hésiter à montrer comment s'y prendre au départ. Les règles de construction sont les suivantes : un segment joint toujours deux points connus et les nouveaux points sont toujours des intersections de lignes connues. On peut résumer ces règles en une seule très visuelle : « il est interdit de créer des points bleus ». En effet, sur GeoGebra , les points libres donc déplaçables sont bleus alors que les points fixes sont noirs. L'élève a donc un moyen aisé de savoir s'il y a un problème dans sa construction.

Voici une vidéo montrant les étapes de construction pour arriver à la figure finale.

La progressivité de cette série d'activités permet à l'élève de s'aguerrir à son rythme dans ses constructions et d'acquérir petit à petit des compétences géométriques importantes qui suivent cet ordre :

Constructions qui peuvent être réalisées à l'aide de segments uniquement, et où chacun de ces segments a au moins une extrémité sur un point de base
Constructions à base de segments, dont certains n'ont aucune extrémité sur un point de base
Constructions où l'utilisation d'une droite ou d'une demi-droite est nécessaire
Constructions à base de cercles
Constructions à base de droites et de cercles

Les compétences mises en œuvre pour réaliser ces constructions sont nombreuses et leur maîtrise par les élèves est très hétérogène, que se soit dans le domaine purement géométrique ou bien dans l'utilisation de l'outil informatique, en particulier la manipulation de la souris. Le grand nombre d'activités sur le même thème présentes dans Rubricamaths et utilisant la même interface logicielle, permet à l'enseignant d'individualiser au plus près ce qu'il propose à ses élèves et de les faire progresser le plus efficacement possible.

Des séries d'activités pour construire de multiples manières

Cette série est composée d'activités qui sont autant de problèmes de construction s'adressent plutôt à des élèves de 6è. Vous la trouverez en suivant ce lien.

Le principe est de reproduire la figure à partir des points donnés en utilisant les outils à disposition. Les activités sont de difficulté progressive :

Les six premiers problèmes font appel à la même situation géométrique mais les outils à disposition varient ainsi que les points donnés au départ.
Le sept problèmes suivant sont des situations uniques.
Les constructions peuvent être validées par les élèves de deux manières, soit en cliquant sur le bouton « valider », soit en déplaçant les points libres tout en vérifiant que la figure reste la même.

Pour illustrer le propos, nous utiliserons les 3 premiers de la série, c'est-à dire : figure 1 (milieux), figure 1 (cercles) et figure 1 (carrés).

L'intérêt majeur de cette série d'activités est la limitation des outils mis à disposition de l'élève. Cela permet en effet de favoriser une certaine démarche de construction par rapport à d'autres. Ainsi dans les trois fichiers pris en exemple, le même problème ne peut pas être résolu avec la même méthode :

Dans le premier « figure 1(milieux) », la présence de l'outil « milieu » rend la construction assez aisée à partir du moment où l'on pense à tracer les diagonales.
Dans le deuxième « figure 1(cercles) », l'absence de l'outil « milieu » rend obligatoire l'utilisation des cercles pour obtenir les milieux par le tracé de médiatrice.
Dans le troisième « figure 1(carrés) », on donne à l'élève la macro « carré » seulement, un outil spécifique au logiciel qui n'a pas d'équivalent sur support papier. Cela permet une résolution plus atypique de ce problème.

Les figures suivantes de la série sont conçues sur le même modèle. Avec les trois figures suivantes, nous complexifions encore le même problème en changeant les points donnés au départ. Par la suite, les problèmes sont uniques et graduels. Ceux de la fin de la série représentent de vrais défis de construction. Cela permet de gérer l'hétérogénéité des élèves, chacun ayant son propre rythme de progression.

Posture et rôle de l'enseignant

Le rôle de l'enseignant est primordial dans l'utilisation des activités de Rubricamaths . En effet, c'est lui qui oriente vers une activité qu'il jugera constructive pour la classe. Après quoi, il est seulement là ponctuellement pour faire franchir une marche à un élève. Mais ce rôle est essentiel : le professeur est aux côtés de l'élève aux moments cruciaux pour lui. Ce sont les moments où il sent que l'élève a compris quelque chose d'important, pour l'aider à en prendre conscience et à l'expliciter (« Tu as réussi ! Tu peux m'expliquer comment tu as fait ça ? »), les moments où il sent que l'élève a grand besoin d'aide, et qu'il est prêt à la recevoir (« Est-ce que tu veux que je te montre comment je fais ça ? »), les moments où il sent chez l'élève du découragement ou de l'ennui, et qu'il est temps de le réorienter vers une autre activité (« Tu es d'accord pour que je te propose une autre activité ? » ou « Je te laisse choisir ton activité dans cette page. »). Ce rôle de l'enseignant est bien différent de celui qu'il endosse lorsqu'il explique quelque chose à la classe : au lieu d'apporter une aide a priori à tous, il vient apporter à chacun l'aide dont il a besoin au moment où il en ressent le besoin. L'avantage, c'est qu'il est écouté, il est alors efficace. L'inconvénient, c'est qu'il aurait vite fait de tomber dans ce que Meirieu appelle la « pédagogie du garçon de café », à courir pendant une heure de l'un à l'autre sans parvenir à répondre à toutes les demandes. Il est donc important qu'il sache aussi faire attendre, qu'il sache dire « Pour l'instant je vais te laisser chercher. ». Comme cela peut ne pas suffire, nous nous sommes efforcés de faire en sorte que les activités que nous proposons puissent être réalisées de façon autonome (autocorrection, comparaison à un modèle, validation par script ...).

De plus, ces activités informatiques ne sont pertinentes que si elles prennent place dans le cadre d'une séquence d'enseignement supervisée par le professeur, elles ne sont efficaces que si elles sont articulées avec d'autres activités écrites ou orales. Penser qu'il suffit de mettre un élève devant un logiciel ou un écran pour qu'il comprenne seul, relève de l'illusion. Celle-ci est pourtant largement répandue. Bien que nous soyons partisans de l'utilisation de l'informatique dans le milieu scolaire et que nous y consacrions une grande partie de notre énergie, nous souhaitons rappeler que, pour nous, l'enseignant reste l'élément central de toute acquisition de savoir par les élèves et que la liberté pédagogique en est la pierre angulaire.

Quelques outils pour le confinement

S. Petitjean — 2020-03-21T10:08:27Z

Un bref article pour recenser quelques outils bien utiles dans ce moment où nous devons trouver des solutions pour donner du travail à nos élèves et tenter de garder contact avec eux.

En dehors des manuels scolaires qui restent une solution pratique et sans écran, pour les leçons, cours et exercices prêts à l'emploi :

Pour concevoir et récupérer des documents numériques (texte, tableur, géogebra, Scratch) et créer des évaluations en ligne : https://doctools.dgpad.net/
Pratique, efficace, ingénieux. Un mot indispensable.
Le site lui-même est très bien renseigné. Il y a aussi un article sur MathémaTICE que vous trouverez en suivant ce lien.

Pour créer et récupérer des exercices, des quizz, des évaluations : QuiZinière
Pratique, efficace et léger.

Pour communiquer avec les élèves autrement qu'avec les ENT :

Ma classe virtuelle du CNED (beaucoup d'informations ont circulé via les canaux officiels)

Vous trouverez aussi sur le site de l'IREM Paris-Nord de nombreuses activités de recherche sur support papier dans la rubrique activités, dans la rubrique rallye, dans la rubrique Papiers Crayons et la rubrique La troisième dimension, ainsi que des activités numériques dont beaucoup sont auto-correctives sur Rubricamaths.

Bon courage à tous,

L'équipe de l'IREM Paris-Nord

Une variable discrète

S. Petitjean — 2020-01-14T17:42:02Z

Tous les fichiers évoqués dans cet article sont accessibles en ligne ou au téléchargement sur Rubricamaths. Pour une lecture agréable et efficace de l'article, vous pouvez ouvrir cette page dans un nouvel onglet.

Sommaire

Présentation des fichiers

Tous les fichiers de cette série fonctionnent de la même manière et s'adressent principalement aux élèves de cycle 4. Une figure est proposée. Celle-ci dépend d'une variable appelée n qui est représentée par un curseur dynamique.

Il faut déterminer l'expression du périmètre de la figure ou de l'aire de la figure ou encore du volume d'un solide en fonction de n. Cette expression devra être saisie dans la dernière ligne du tableur. L'élève pourra compléter les lignes précédentes du tableur pour faire des essais et des conjectures. Toutes les réponses, numériques ou littérales, sont validées (vert) ou invalidées (rouge).

Toutes les expressions numériques ou littérales équivalentes sont acceptées et validées. Ainsi :

la saisie de 24 sera acceptée au même titre que la saisie de 4 x 6 ou 2 x (7 + 5).
la saisie de 4 x (n+1)^2 sera acceptée au même titre que la saisie de 4n^2 + 8n + 4
Cela permet de valider les expressions quelque soit le raisonnement utilisé par l'élève.

Les objectifs de cette séquence sont multiples :

Travailler la production d'expressions littérales :
- analyser une situation géométrique,
- chercher les invariants et la variable de cette situation,
- conjecturer à l'aide de nombre une expression littérale.
Gérer l'hétérogénéité en proposant des activités de difficulté progressive.

Par exemple, l'activité "Le carré écorné violet" accessible ici, se présente de la manière suivante (Cliquez pour voir l'image en grand) :

Les expressions en fonction de n attendues sont :
– Aire = (n + 2)² - 4 ou n² + 4n

Démarches et utilisations

Une démarche

Produire une expression littérale est l'une des compétences les plus difficile et les plus importante que l'élève doit travailler au collège. Lorsque l'on propose des situations dans lesquels une variable intervient, il n'est pas rare d'être confronté à l'incompréhension de l'objectif final par beaucoup d'entre eux et par conséquent à une grande passivité d'une partie de la classe.

Le premier objectif de cette série d'activités est justement d'essayer de rendre actif l'élève en lui permettant de manipuler lui-même les figures (à l'aide du curseur) et de rentrer progressivement dans le problème en complétant l'aire (ou le périmètre ou le volume) dans le tableau à l'aide de valeurs numériques. Il est de plus rassuré dans sa progression par des validations à chaque saisie quelque soit le raisonnement qu'il utilise.

Un élève ayant réaliser les premières étapes numériques peut alors essayer de rentrer une procédure de calcul dans le tableau, par exemple : 6 x 6 + 4 x 6. Il pourra ainsi vérifier la validité de sa procédure notamment lorsque n est égal à 30, 100 et lorsque n est égal à un nombre aléatoire.

Ensuite, il pourra proposer une formule écrite à l'aide de la variable n dans la dernière cellule du tableur. L'objectif final étant de produire une formule, les étapes précédentes ne sont pas nécessaires. Un élève ayant compris rapidement peut tout à fait saisir directement l'expression en fonction de n.

Voici une vidéo illustrant l'ensemble des propos tenus ci-contre (cliquez sur l'image pour la lancer) :

Un problème, plusieurs démarches

Pour résoudre le problème précédent, plusieurs démarches sont possibles :

l'expression peut s'écrire : (n+2)² - 4

l'expression peut s'écrire : n² + 4n

l'expression peut s'écrire : n(n+2) + 2n

Dans chacun des cas la saisie est validée, la cellule du tableau se comportant comme une zone de calcul formel. Les élèves peuvent donc suivre leur raisonnement comme ils l'entendent ce qui est fondamental dans ce genre de problème. De plus, de retour en classe, un travail autour l'équivalence de ces différentes expressions permet la mise en œuvre de la plupart des techniques de calcul littéral (simplification, développement, factorisation, réduction).

Comment accompagner les élèves ?

Plusieurs points de blocage peuvent se rencontrer durant le travail sur cette série d'activités.

1) Pour certains élèves, le saut entre les premiers résultats numériques et la production de l'expression (ou de la formule tableur) est trop important. D'ailleurs, la plupart trouvent rapidement une relation de récurrence sur les premières étapes numériques mais se trouvent quelque peu désemparés lorsqu'il s'agit de trouver le résultat pour n=30 (et les deux nombres suivants). Pour les amener progressivement vers l'expression littérale et pour les inciter à délaisser les relations de récurrence, on peut leur conseiller d'écrire la suite de calcul sur une seule ligne conduisant au résultat (par exemple à partir de n=3). En reprenant l'exemple du carré tronqué (1), cela donne ce genre d'expression :

pour n=3, aire = 3 x 3 + 4 x 3
pour n=4, aire = 4 x 4 + 4 x 4
pour n=5, aire = 5 x 5 + 4 x 5
...

2) Certains élèves oublient la situation géométrique pour ne se concentrer que sur les suites de nombres. Pourtant, l'étude de cette situation géométrique peut leur permettre d'être plus efficace. Il est donc nécessaire de rappeler les questionnements qu'ils doivent avoir face à de tels problèmes (lors de bilans collectifs et lors d'intervention individuelle auprès des élèves) :

qu'est-ce qui bouge dans la figure ?
qu'est-ce qui reste fixe ?
A quoi correspond la variable n dans la figure ?
De quelles figures est composée la figure étudiée ?
L'utilisation d'un brouillon sur lequel ils peuvent faire des schémas, annoter, faire des calculs intermédiaires peut s'avérer très utile et débloquer bien des situations.

Utilisations

Cette série d'activités peut être utilisée collectivement en classe (dans ce cas, c'est l'enseignant qui réalise les manipulation) ou bien de manière individuelle sur un support numérique (tablette, PC en salle informatique ...) que ce soit en classe ou à la maison. Ces deux manières d'utiliser les activités peuvent évidemment être menées conjointement.

Progression et résultats attendus

La progression proposée sur Rubricamaths est basée sur une complexification progressive des situations et notamment au niveau des expressions littérales.
Les premières activités (verte) sont assez simples pour débuter et permettent d'aborder la notion de variable sans formalisation excessive dès la classe de 6ème.
Quelques figures très difficiles sont proposées à la fin de la série (violet) pour occuper les élèves en avance.

Ci-dessous, les réponses attendues pour chacune des activités :

Série Verte

1. La chaise

• Aire = n + 1

2. La table basse

• Aire = n + 2

3. Le S

• Longueur = n + 4

4. Le i

• Aire = n - 1

5. Le marteau

• Volume = n + 5

6. Le rectangle vert

•Aire = 2 x n

7. Le poteau indicateur

• Aire = 3 x n

8. Le carré vert

• Périmètre = 4 x n

9. L'algue)

• Longueur = 5 x n

10. Le joystick

• Aire = 7 x n

Série bleue

1. La petite barrière

• Aire = 2 x n + 1

2. La grande barrière

• Aire = 3 x n + 2

3. Le C

• Longueur= 2 x n + 3

4. Le L

• Aire= 2 x n - 1

5.Le trépied

• Volume = 3 x n - 2

6. La clôture

• Aire = 5 x n + 4

7. Le U

• Aire = 3 x n -2

8. La table basse en 3D

• Volume = 5 x n +4

9. Le rectangle écorné

• Aire = 7 x n - 4

10. Le plus (aire

• Aire = 4 x n + 1

11. Le plus (périmètre

• Périmètre = 8 x n + 4

12. La petite croix bleue

• Volume = 4 x n + 3

13. La grande croix bleue

• Volume = 6 x n + 1

14. Le pavé troué

• Volume = 14 x n

15. La couronne

• Aire= 4 x n - 4 ou 4 x (n - 1)

16. L'agraphe

• Aire= 3 x n - 3 ou 3 x (n - 1)

17. Le H

• Aire= 4 x n + 4

18. Le mille-pattes

• Aire= 4 x n + 8 ou 4 x (n - 2)

19. Le rectangle bleu

• Aire= 5 x n - 15 ou 5 x (n - 3)

20. Le podium

• Aire= 3 x n - 3 ou 3 x (n - 1)

21. Le peigne bleu

• Aire= 3 x n + 3 ou 3 x (n + 1)

22. Le pavé bleu

• Volume = 12 x n + 12 ou 12 x (n + 1)

23. Le C en 3D

• Volume = 6 x n - 8 ou 3 x 2 x (n - 2) + 4 ou ...

24. cube fil

• Volume = 12 x n + 8

Série rouge

1. Le carré rouge

• Aire = n^2

2. Le carré écorné rouge

• Aire = n^2 - 4

3. La table rouge

• Longueur= n^2 +12

4. Le Le peigne rouge

• Aire= n^2 + 3

5.Le rectangle rouge

• Volume = 2 n^2

6. La croix rouge

• Aire = 5 n^2

7. Le cube rouge

• Aire = 6 n^2

8. Le pavé rouge

• Volume = 3 n^2

9. Le double carré

• Aire = 2 n^2 -1

10. Le temple grec

• Aire = 2 n^2 + 12

11. Le lampadaire

• Périmètre = n^2 + n + 9

12. Le rotor

• Volume = n^2 + 2n + 4

13. La croix rouge rognée

• Volume = 5n^2 -4n

14. Le puit

• Volume = 4n^2 -4n ou n (4n - 4)

15. Le fauteuil

• Volume = n^2 + 12 n + 12 ou 3(n + 2)^2 - 2n^2

Série violet

1. Le cube violet

• Volume= (n+1)^3

2. Les carrés violets

• Aire = n^3

3. La pavé violet

• Volume= n(n+1)(n+2)

4. Le carré écorné violet

• Aire= (n+2)^2 - 4

5.Le cube écorné

• Volume = (n+2)^3 - 8

6. Le cube suspendu

• Aire = n^3+n^2+3

7. Le casse-tête

• Aire = n^3 - 6(n-2)^2

8. Le cube évidé

• Volume = (n+2)^3 - n^3

Pour continuer

Cette série d'activités prend place parmi d'autres séries d'activités informatiques consacrées à des degrés divers à la variables.

Comme il a été évoqué précédemment, un travail sur la production d'expressions numériques sur une seule ligne est une étape importante dans la production d'expressions littérales. Les séries d'activités suivantes sont consacrées à ce thème et à la géométrie dans l'espace. l'objectif est de progressivement remplacer le comptage par des procédures de calcul :

Un travail plus spécifique sur les fonctions : boîtes noires.

Deux séries reprenant le même principe mais cette fois dans l'espace :
- une plus simple : Solides et variables discrètes.
- une de difficulté équivalente : Structure de cubes et variables discrètes.

Une série qui permet de travailler sur deux variables discrètes : Deux variables discrètes.

Pour ne pas se cantonner aux variables discrètes, un travail sur les variables continues nous semble nécessaire : Figures et variables continues

Quelques problèmes d'optimisation mettant en œuvre les propriétés de collège (théorème de Pythagore et Thalès, trigonométrie) ainsi que les fonctions et leur représentations graphiques : situation problèmes et fonctions

Nous rappelons, pour finir, que tout travail réalisé sur des fichiers informatiques doit être accompagnés de bilans collectifs et mené conjointement à un travail sur support papier sous la supervision d'un enseignant.

La pratique des "micro-problèmes" au cycle 3

S. Petitjean — 2019-03-24T19:45:53Z

L'objectif est de travailler le sens des opérations et d'initier à l'écriture de formules sans variable par le biais d'activités mentales ritualisées.

Des énoncés courts et simples contenant des nombres, suivis d'une question, sont dits oralement deux fois devant la classe. Ils sont donnés par série de deux ou trois. Les élèves répondent par écrit sur leur cahier et une correction est réalisée immédiatement après la série, voire après chaque phrase.

Ce type d'activité est proposé en série. Voici deux exemples de séquences :

Organisation d'un calcul

Proportionnalité

La consigne donnée aux élèves est d'écrire la suite d'opérations sur une seule ligne conduisant à la réponse au problème mais sans en donner le résultat. L'élève est laissé libre d'utiliser le nombre de parenthèses lui semblant nécessaire à la compréhension de son expression.

Cette consigne est conforme aux attendus d'une fin de cycle 3, comme rappelé dans le document ressource sur le calcul en ligne au cycle 3 disponible sur Eduscol :

En fin de cycle, on tend progressivement vers un calcul organisé en une seule ligne, utilisant si
nécessaire des parenthèses. La capacité à écrire de telles expressions numériques prépare les
attendus du cycle 4 liés à la production d'expressions littérales et à la mise en équation de
problèmes.

http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Nombres_et_calculs/00/2/RA_16_C3_MATH_calcul_ligne_c3_N.D_601002.pdf

Prenons comme exemple l'énoncé suivant :

J'ai 12 sacs de billes. A l'intérieur de chaque sac, il y a 5 billes rouges et 3 billes bleues.
Combien ai-je de billes ?

La réponse attendue sera : 12 x (5 + 3) ou (12 x 5) + (12 x 3)

Bien sûr d'autres réponses peuvent apparaître :

Avec des calculs partiels :

Avec des étapes :

Avec un ordre et/ou des parenthèses différentes :

Il s'agira de laisser ce type de réponses émerger et de les faire évoluer vers l'écriture sur une seule ligne en proposant des énoncés du même type mais plus complexes. Pour cela, les énoncés peuvent être donnés avec des nombres qui rendent difficile le calcul mental ou avec une densité d'information plus importante .

Ainsi l'énoncé précédent peut être transformé de la manière suivante :

J'ai 17 sacs de billes. A l'intérieur de chaque sac, il y a 18 billes rouges et 16 billes bleues.
Combien ai-je de billes ?

Ou bien de la manière suivante :

J'ai 12 sacs de billes. A l'intérieur de chaque sac, il y a 5 billes rouges, 3 billes bleues, 6 billes vertes et 7 billes jaunes.
Combien ai-je de billes ?

Il n'apparait pas raisonnable de demander le résultat de ces problèmes en moins de 30 secondes, par contre, l'écriture sur une ligne n'est guère plus compliquée à produire que lors de l'énoncé initial. Écrire sur une seule ligne peut aussi permettre d'alléger la résolution du problème. En effet, en dégageant l'élève de la contrainte d'effectuer les opérations, celui-ci peut se concentrer sur la structure du problème.

Dans l'exemple suivant :

Une pile de 5 dictionnaires identiques pèse 17,2kg.
Combien pèserait une pile de 20 dictionnaires ?

La réponse attendue sera : (17,2 : 5) x 20

L'expression conduisant à la solution est nettement plus facile à produire que le résultat lui-même à cause de la difficulté d'effectuer la division décimale.

Les avantages de ce type d'activités nous ont semblé nombreux :

la ritualisation permet d'enrichir le bestiaire mathématique des élèves, de leur rendre familières les formules sans variable.
le temps très bref et le fait que les réponses soient apportées immédiatement permet d'apporter le retour immédiat dont le cerveau a besoin pour prendre conscience d'une erreur.
il est relativement facile d'identifier le type de problèmes posant difficultés. On peut alors faire une séance plus spécifique sur ceux-ci.
le temps de préparation de ce genre de rituel est quasi-nul, les phrases pouvant facilement être improvisées sur-le-champ par l'enseignant, puisant dans le quotidien de la classe ou l'actualité.
l'oralité et le temps court en font un excellent exercice de concentration ou de prise de notes rapides.
l'écriture d'une expression sur une seule ligne représente un enjeu mathématique important pour la suite (l'apprentissage de la notion de variable, de calcul littéral est basé sur ce type d'écriture)

Les objectifs mathématiques qui se cachent derrière chaque phrase sont si riches (priorités de calcul, distributivité, ...) que le professeur devra parfois se faire violence pour ne pas rebondir sur toutes les remarques d'élèves et risquer de dépasser les 10 ou 15 minutes de ce rituel. La répétition est une assurance que ces questions émergeront à nouveau.

La première difficulté de ce type d'activités réside dans la compréhension de la consigne : un problème sans réponse chiffrée peut être perçu comme un problème non résolu (par l'élève mais aussi par l'enseignant). En effet, l'élève ne pourra pas évaluer la pertinence de ses calculs par l'analyse du résultat obtenu. Pour pallier cet inconvénient, on peut proposer de réaliser ces problèmes à l'aide d'une calculatrice de type collège, en demandant aux élèves de saisir sur celle-ci une expression conduisant au résultat et en n'autorisant qu'une seule fois l'utilisation de la touche « = ».

Voici quelques captures d'écran de calculatrice :

On peu aussi énoncer la consigne de la façon suivante : "Vous devez écrire les calculs qui permettent de répondre à la question, mais il est interdit d'écrire un nombre qui n'est pas dans l'énoncé."

Faire varier les thèmes à l'infini est très intéressant pour la construction chez les élèves de catégories abstraites "addition", "multiplication", voire d'autres plus complexes. Après que le professeur aura lui-même fait varier les thèmes, il peut demander aux élèves de lui proposer leurs propres "micro-problèmes", avec la réponse.

Dans le même but, on peut proposer une variante, après un temps d'installation du rituel : le professeur ne dira plus la phrase, mais donnera la réponse, par exemple "3x5+2", et les élèves devront proposer une phrase qui lui corresponde.

Voici ci-dessous quelques exemples de micro-problèmes dans lesquels le professeur a fait varier les thèmes, puis ceux que les élèves lui ont envoyés.

Micro-problèmes sur des thèmes divers

Micro-problèmes d'élèves

Activités rapides : apprivoiser la variable

Erwan — 2018-02-11T15:56:45Z

L'introduction et la manipulation d'une variable est sans conteste un des écueils des programmes de mathématiques du collège et du lycée. Il convient d'y donner du sens, et il y a de nombreuses façons de le faire. Nous en décrivons une ici que nous avons choisi de présenter comme une séquence d'activités "rapides", en guise de rituel de début de séance, et qui peuvent facilement se décliner sur toute l'année scolaire.

Cela peut par exemple se dérouler comme ceci : le professeur projette (ou imprime et distribue) l'énoncé, qui se présente comme une suite de figures numérotées.

Il pose alors une question (ou deux), qui sont du type :

- Dessinez les figures manquantes.
- Quelle est l'aire de la figure n°10 ? (n°100 ? n°2018 ?)
- Quelle est l'aire de la figure numéro N ?
- Idem pour le périmètre, le diamètre ou le volume.
- L'aire de la figure est-elle proportionnelle à son numéro ? (idem avec périmètre et volume)

Les élèves ont alors cinq ou dix minutes pour chercher une réponse. Ce temps écoulé, le professeur peut par exemple faire un rapide sondage sur les réponses trouvées et faire expliquer leur démarche par un ou deux élèves.

Certains élèves feront appel à des méthodes géométriques, comme un découpage des figures en éléments simples, d'autres (plus nombreux) leur préféreront systématiquement des méthodes numériques, fondées sur la seule observation des premiers termes de la suite numérique. La plupart d'entre eux trouvent rapidement une relation de récurrence, surtout si l'on prend soin de ne proposer au début que des suites arithmétiques. Survient alors un obstacle : la récurrence ne permet pas simplement de répondre à la question sur le n°100. Si la figure n°10 peut encore être dessinée, concrètement ou mentalement, la figure n°100 incite plutôt à un calcul mental qui reste parfois inconscient, certains élèves ayant une réponse sans toujours savoir de quel calcul elle découle, tandis qu'un élève qui donne la bonne réponse pour la figure n°2018 n'est plus très loin de pouvoir produire une formule avec une variable. D'autre part, poser l'une après l'autre les deux questions sur la figure n°10 puis sur la figure n°100, c'est inviter très lourdement à utiliser, le plus souvent à tort, la proportionnalité : cela peut être une volonté de l'enseignant. Au début, on verra parfois les élèves s'emparer de la variable « n° » ou « n°N » au lieu du « N » attendu. Les élèves les plus en difficulté n'accéderont pas tout de suite à la variable, c'est pourquoi une première question peut être nécessaire, mais ils peuvent toujours être actifs : les calculs d'aires et de volumes sur les premiers éléments de la suite ne sont pas hors de portée, et la reproduction des premiers motifs et des suivants est souvent très abordable même si elle n'est pas toujours triviale. Elle n'est pas inutile non plus : elle met sur la voie d'une méthode géométrique. Ces questions sont de jolis prétextes à parler de proportionnalité, en particulier d'exhiber des exemples de non-proportionnalité. Elles peuvent aussi faire parler d'agrandissements géométriques et de manipulations algébriques, les formules étant trouvées tantôt sous leur forme factorisée, tantôt sous leur forme développée. La difficulté pourra être, pour l'enseignant, de résister à la tentation de rebondir et de faire durer l'activité trop longtemps.

Vous trouverez dans le document pdf ci-dessous quelques exemples d'activités de ce type, mais cela peut se décliner à l'infini, et pour chaque suite de figures la liste des questions à poser n'est pas fermée. Nous avons fait le choix de ne pas écrire la consigne, de façon à laisser l'enseignant libre de la choisir. Il faudra juste être attentif à ne pas poser une question inaccessible, par exemple pour des sixièmes une question qui impose de connaître la longueur de la diagonale du carré de côté 1. Il est par ailleurs possible de demander aux élèves eux-mêmes de se poser une question au sujet d'une suite de figures.

Nous avons adapté cette série d'activités pour un usage en salle informatique : les élèves disposent d'un curseur pour faire varier la variable et doivent remplir un tableau qui est auto-correctif. L'usage de formules de tableur est possible dans GeoGebra, de sorte que les élèves qui ont compris la relation de récurrence peuvent remplir très rapidement les dix premières lignes du tableau : c'est l'occasion de leur montrer comment copier une formule vers le bas dans un tableur.

Vous trouverez ces activités autour les variables discrètes sur Rubricamaths dans la section "Fonctions, variables...".

Angles, parallélogrammes et programmation au cycle 4

S. Petitjean — 2017-09-25T14:09:16Z

Sommaire :

Angles

Parallélogrammes et quadrilatères

Notions qui restent à étudier
- Caractérisation par les diagonales

Les fichiers informatiques présents dans cet article sont tous accessibles depuis le site d'activités informatiques de l'IREM Paris Nord : Rubricamaths. L'utilisation de celui-ci permet un accès simple aux activités et permet d'individualiser le travail avec les élèves.

Concernant les fichiers GéoTortue, un accès encore plus simple est conseillé. Ils sont, en effet, proposés directement depuis le logiciel via l'onglet "activités" puis "catalogue en ligne". Par contre, il faut disposer de GéoTortue en version 4 (beta).

Depuis quelques temps, nous proposons aussi ces activités sur le logiciel Snap !. Celui-ci reprend le principe de Scratch tout en étant plus configurable. Les activités sont donc accesibles directement en ligne depuis Rubricamaths.

GéoTortue et Snap ! ont notre prédilection mais rien n'empêche de transposer les activités proposées dans cet article sur les logiciels DGPad ou Scratch.

Comparer et reproduire des angles

1. Activité Papier : comparer des angles

Cette activité a pour but de comparer les angles sans qu'il soit question de mesure de manière à ce que l'élève appréhende l'angle en tant qu'objet géométrique au même titre que le segment ou la droite. La question de la mesure de l'angle sera abordée par la suite.

Ainsi dans cette activité, l'utilisation du compas est suggérée. Il est sans doute utile de montrer (ou remontrer) la reproduction d'un angle au compas en cours d'activité.

2. Activité Papier : Reproduire des angles

La fiche ci-contre est proposée aux élèves pour consolider ce qui a été vu précédemment dans le cadre de la construction de triangle. Le rapporteur est toujours interdit.

3. Bilan :

Un rappel sur l'utilisation du rapporteur est fait. Il est alors demandé de mesurer les angles des fiches précédentes et d'en vérifier les résultats.

Pour les élèves qui sont en difficultés concernant la mesure des angles, les activités de géométrie mentale sur support Geogebra peuvent leur être proposées :

Mesure d'un angle saillant en degrés

Mesure d'un angle en degré

Angles et parallélisme

1. Activité Informatique : La course de bateaux

Après avoir travaillé sur l'angle en tant qu'objet (activité papier), nous proposons aux élèves un travail sur l'angle et la mesure des angles avec GéoTortue.

L'environnement GéoTortue permet de s'affranchir momentanément des contraintes des tracés sur papier et de l'utilisation du rapporteur dans l'étude des angles, tout en étudiant leur mesure.

Notions rencontrées :

Évaluation de la mesure d'un angle

Angles de rotation

Angles supplémentaires

Angles complémentaires

Lien entre angle et parallélisme (angles correspondants).

Préparation de l'activité :

Les différents trajets sont programmés en langage LOGO. Il faut donc disposer du logiciel GeoTortue, puis il suffit de télécharger le fichier GéoTortue suivant : Course de bateaux.

Pour toute information concernant le logiciel GeoTortue (téléchargement, utilisation ...), vous pouvez consulter la section du site qui lui est consacré en suivant ce lien : le logiciel GeoTortue

Présentation de l'activité :

Pour la plupart des élèves, cette activité est le premier contact avec l'environnement GéoTortue. Il faut donc commencer par une rapide présentation des commandes de bases et leur laisser quelques instants pour se les approprier.

Ceci étant fait nous pouvons leur proposer de démarrer l'activité proprement dite.

Après avoir tapé "trajet1" dans la zone de commande, l'élève se retrouve avec ceci sur l'écran :

Le but de l'activité est de franchir la ligne d'arrivée, matérialisée par le rectangle, en faisant le plus court trajet et en respectant les règles de navigation en mer à savoir, obligatoirement passer à droite des bouées bleues et à gauche des bouées rouges.

L'élève doit donc se débrouiller par essais successifs pour d'abord amener la tortue sur la ligne d'arrivée, puis ensuite pour améliorer la longueur totale de son trajet.

Il est nécessaire d'imposer progressivement une nouvelle règle en cours d'activité qui est généralement accueillie favorablement par les élèves : donner le moins d'ordres possible à la tortue. Il est prématuré d'imposer cette règle dès le départ car elle peut empêcher la recherche à tâtons.

Chaque élève reçoit un document récapitulant les consignes et sur lequel il pourra noter ses essais

Le trajet attendu est le suivant :

Le trajet des élèves doit tendre vers cette suite de commandes :

av 100 ; td 62 ; av 230 ; tg 62 ; av 140

Ainsi, la longueur totale du trajet doit se rapprocher de 470.

Bien que l'enjeu de l'activité ne se situe pas là , le calcul de la longueur du trajet a son importance. En effet, il crée une émulation entre les élèves, permet au professeur de vérifier la pertinence du trajet de l'élève rapidement. Il permet aussi de faire le point sur les différentes mesures avec les élèves qui additionnent les mesures d'angle et les longueurs pour calculer la longueur totale du trajet.

L'objectif principal de l'activité concerne les angles et plus particulièrement le moment où l'élève doit redresser la tortue pour passer la bouée rouge et franchir la ligne d'arrivée. Il doit intuitivement comprendre que le trajet le plus court est de revenir à la verticale. On donne ainsi une image mentale simple du lien entre une égalité d'angles (les angles correspondants) et le retour à une direction de départ (le parallélisme).

Une fois ce trajet terminé, l'élève passe au deuxième en tapant "trajet2", puis au troisième de la même manière.

Les trajets attendus sont les suivants :

Cette fois-ci, le principal enjeu se situe dans la recherche de la mesure de l'angle permettant le passage de la 2è bouée bleue.

Cet angle se trouve par analogie avec le trajet précédent en replaçant la tortue à la verticale vers le haut puis en lui appliquant un demi-tour (angle de 180°).

Il est important de s'assurer que l'élève transforme bien les deux ordres ( tg angle puis td 180) en un seul (td 180-angle), en vertu de la règle de donner le moins d'ordres possible à la tortue.

Cela permet d'aborder la notion d'angles supplémentaires.

Le dernier trajet se complexifie encore :

Le 2è angle s'obtient en constatant qu'il faut un angle de 90° par rapport à la position de départ de la tortue, donc que la somme des 1er et 2è angles est égale à 90° (angles complémentaires).

Le 3è angle s'obtient par les angles supplémentaires.

Le 4è angle s'obtient par les angles supplémentaires ou alors de manière intuitive en constatant directement qu'il doit être le même que le 2è angle.

Dans tous les cas, l'élève est amené à constater des égalités entre plusieurs angles et à les associer au parallélisme et au parallélogramme, le parcours de la tortue s'en approchant.

2. Activité papier et bilan :

Une activité bilan est distribuée aux élèves de façon à décontextualiser et à fixer les propriétés sur les angles qu'ils ont découvert ou senti, en particulier celle qui concerne le lien entre l'égalité des angles correspondants et le parallélisme de deux droites coupées par une sécante.

La correction de ce bilan et des différentes méthodes de construction en classe est l'occasion de s'assurer de la compréhension de ce lien par chacun.

De plus, cette activité papier permet de s'assurer que l'élève a transféré ce qu'il a appris sur le support informatique en géométrie classique

Ce bilan peut-être l'occasion d'introduire les termes d'angles correspondants, d'angles supplémentaires et d'angles opposés par le sommet

Angles et polygones réguliers

1. Activité Informatique : Les polygones réguliers

Les élèves ont souvent comme référence l'angle de 90° pour raisonner. Cette activité se propose de changer ce point de vue pour que leur référence devienne l'angle de 360°.

Notions rencontrées :

Evaluation de la mesure d'un angle

Angles de rotation

Angles supplémentaires

Partage de l'angle de 360°

Initiation à la notion de variable et production d'une formule littérale.

Présentation de l'activité :

L'activité peut se réaliser à partir d'un fichier GéoTortue vide accompagné de la feuille de travail ci-contre ou à partir de l'activité "polygone régulier" accessible depuis l'onglet "activités" de GéoTortue, ce qui permet d'avoir les consignes directement dans le logiciel.

L'élève doit réaliser chacun des polygones réguliers à l'aide de GéoTortue et écrire les calculs qu'il a effectué. Il doit ensuite rédiger le programme correspondant à la figure en ayant le souci d'écrire le moins d'ordre possible. La dernière ligne est réservée à la fin de l'activité

L'élève cherche donc à réaliser ces figures par essais mais se retrouve assez vite bloqué, ne sachant comment trouver l'angle de rotation. Il est alors utile de s'appuyer sur le carré, à l'aide duquel on fera constater que la tortue a fait un tour complet pour dessiner ce carré et que ce tour complet mesure 360° (4 x 90°).

Ainsi, pour réaliser les figures, il doit comprendre comment partager l'angle de 360°.

Il est possible que certains élèves ne soient pas bloqués car ils utilisent d'autres raisonnements que le raisonnement précédent ou bien parce qu'ils ont adopté une technique par essais qu'ils jugent efficace. Il est alors nécessaire de montrer les limites de leur méthode en augmentant le nombre de côté des polygones proposés : par exemple un dodécagone ou un polygone régulier à 15 côtés (l'angle étant 24°).

Une fois que toutes les figures ont été réalisées, le professeur explique sur les premières figures comment utiliser la commande "rep" afin de faciliter l'écriture des programmes GéoTortue.

Ainsi, le programme LOGO du carré devient :
rep 4 [ av 50 ; td 90]

Celui du triangle équilatéral devient :
rep 3 [ av 50 ; td 120]

Celui de l'octogone régulier devient :
rep 8 [ av 50 ; td 45]

L'élève doit écrire le programme associé à chaque figure sur la dernière ligne de la feuille.

Outre la facilité d'écriture, l'objectif est de permettre à l'élève de faire le lien entre le nombre de côté et l'angle de rotation du polygone.

Afin de s'assurer de la bonne acquisition de la démarche par l'élève, on lui demande ensuite de créer son propre polygone régulier (à inscrire dans la dernière colonne).

Il peut être judicieux à ce moment de l'activité de laisser une liberté importante aux élèves afin de stimuler leur curiosité : "Qu'est-ce que donne un polygone à 30 côtés ?". L'objectif est qu'ils testent plusieurs possibilités en faisant varier le nombre de côtés et en associant le bon angle.

2. Activité Informatique : Une procédure à deux variables

A la suite du travail précédent et à condition que les élèves aient déjà été initiés à l'écriture de procédure avec des variables (par exemple s'ils ont déjà produit une procédure carré ou rectangle), on peut leur demander d'écrire une procédure polygone utilisant deux variables.

Sinon, l'écriture de cette procédure pourra se faire de retour en classe après une mise en commun sur le travail effectué sur GéoTortue.

La procédure attendue est la suivante :

pour polygone nombre côté

rep nombre [ av côté ; td (360 / nombre)]

fin

Il est alors nécessaire de tester cette procédure avec les élèves à l'oral (qu'est-ce qu'on obtient lorsque l'on tape "polygone 5 80" ?) puis sur LOGO (avec un vidéo projecteur en classe) de manière à ce chacun d'entre eux visualise la finalité du travail qui leur a été demandé.

Afin d'utiliser cette procédure et vérifier qu'ils en ont compris le fonctionnement, nous pouvons les faire travailler sur des figures plus complexes.

3. Activité papier : Construction de polygones réguliers

Pour s'assurer du transfert de compétence entre le support informatique et le support papier, nous leur proposons de construire quelques polygones régulier à l'aide de leur rapporteur.La correction et le débat sur les différentes méthodes de construction est l'occasion de faire le point sur le rapport entre l'angle de rotation (celui de la tortue) et les angles convexes des polygones en constatant qu'ils sont supplémentaires.

4. Activité Informatique : Activités supplémentaires

Afin de gérer au mieux l'hétérogénéité des élèves ou d'utiliser le domaine des polygones réguliers pour enseigner de la programmation, nous pouvons proposer aux élèves de réaliser les procédures "rosace" et "assiette" qui utilise trois variables.

Ces activités sont accessibles directement dans les activités de GéoTortue sous le nom de : "des rosaces et des assiettes".

Voici une brève description de ce qui est attendu dans cette activité :

Le procédé pour les rosaces :

La procédure générale :

pour rosace nombre1 côté nombre2
rep nombre2 [ polygone nombre1 côté ; td (360 / nombre2)]
fin

Nous pouvons ensuite leur demander de créer leur propre rosace en les laissant jouer avec les variables.

Pour visualiser ce que les élèves peuvent obtenir :

Le procédé pour les assiettes :

La procédure générale :

pour assiette nombre1 côté nombre2
rep nombre2 [ polygone nombre1 côté ; av côté ; td (360 / nombre2)]
fin

Nous pouvons ensuite leur demander de créer leur propre assiette en les laissant jouer avec les variables. Nous pouvos aussi leur soumettre la questions suivante : À quelle condition les assiettes sont-elles des rosaces ?

Pour visualiser ce que les élèves peuvent obtenir :

Le parallélogramme

1. Activité Informatique : A la découverte du parallélogramme

Cette activité propose de travailler sur la construction du parallélogramme en connaissant les mesures de deux côtés et d'un angle. Pour cela, l'utilisation de GéoTortue est toute indiquée puisqu'elle permet de faire intervenir plusieurs variables de manière très naturelle.

Notions rencontrées :

Construction d'un parallélogramme en connaissant les dimensions de deux côtés et d'un angle.

Ecrire un programme utilisant trois variables (procédure).

Organiser la construction de figures à base de plusieurs parallélogrammes.

Calculs d'angles (complémentaires/supplémentaires)

Présentation :

L'activité peut se réaliser à partir d'un fichier GéoTortue vide accompagné de la feuille de travail ci-contre ou à partir de l'activité "Quelques parallélogrammes" accessible depuis l'onglet "activités" de GéoTortue, ce qui permet d'avoir les consignes directement dans le logiciel.

L'élève doit réaliser chacun des parallélogrammes à l'aide de la tortue et écrire le programme correspondant en ayant le souci de donner le moins d'ordre possible. La dernière ligne est réservée à la fin de l'activité

Pour les trois premiers parallélogrammes, les dimensions des côtés ainsi que la mesure d'un angle sont donnés. Seule la position de l'angle change d'un cas sur l'autre de manière à ce que le lien entre les angles intérieurs et extérieurs du parallélogramme soit naturel pour l'élève.

La principale difficulté est de trouver la mesure du deuxième angle du parallélogramme. Pour cela, l'élève doit réinvestir ces connaissances sur les angles correspondants et supplémentaires.

Le dernier parallélogramme est le cas général. Il est demandé de remplacer les valeurs numériques des dimensions par ce qu'elles représentent et d'écrire le programme permettant la construction du parallélogramme. L'élève écrit en fait une procédure qui permettra de réaliser tous les parallélogrammes.

La procédure attendue est :

pour parallélogramme L1 L2 a av L1
td a
av L2
td (180 - a)
av L1
td a
av L2
td (180 - a)
fin

ou bien :

pour parallélogramme L1 L2 a
rep 2 [ av L1 ; td a ; av L2 ; td (180 - a)]
fin

Une aide particulière doit être apportée aux élèves pour le deuxième angle du parallélogramme qui s'écrit 180 - a. Il est nécessaire de leur demander de revenir sur les moyens qu'ils ont mis en œuvre pour trouver cet angle dans les cas numériques afin de les aider à généraliser.

Ensuite, il leur est demandé d'écrire cette procédure dans la fenêtre droite de GeoTortue puis d'en tester la validité en réalisant de nouveau les trois premiers parallélogrammes. L'expression permettant de réaliser ces parallélogrammes à l'aide de la procédure doit être écrite dans la dernière ligne du tableau.

Il peut être utile de le faire avec eux à l'aide d'un vidéoprojecteur de manière à fournir des explications sur l'utilisation des procédures. Les réponses attendues sont :

parallélogramme 100 50 40

parallélogramme 70 120 150

parallélogramme 135 80 60

2. Bilan :

De retour en classe, un bilan sur le travail effectué en salle informatique est réalisé. Il est nécessaire de reprendre la conception de la procédure parallélogramme étape par étape, d'en revoir les objectifs (pourquoi on fait cela ?) et les applications (à quoi ça sert ?) afin de ne laisser aucun élève de côté. Il faut sans doute insister et réexpliquer l'expression du deuxième angle (180 - a).

Des tracés de parallélogrammes sur papier blanc sont alors donnés aux élèves afin de réinvestir et de consolider les notions abordées sur le support informatique.

Avec des parallélogrammes

1. Activité Informatique : Construire avec des parallélogrammes

Présentation :

L'objectif principal de cette activité est de s'assurer que chaque élève maîtrise l'utilisation de la procédure parallélogramme dans différentes situations. Cette activité est aussi l'occasion de mettre l'élève en position de recherche dans la réalisation de figures plus complexes où interviennent des calculs d'angles et de longueurs.

L'élève doit réaliser chacune des figures à l'aide de la tortue en utilisant la procédure parallélogramme et écrire le programme correspondant en ayant le souci d'écrire le moins de commandes possible.

Les figures 1 et 2 sont des applications directes du travail réalisé lors de la première partie de l'activité.

Les figures 3, 4 et 5 sont plus complexes et font intervenir les propriétés du parallélogramme dans les calculs d'angles et de longueurs. De plus, l'utilisation d'angles particuliers est nécessaire à leur construction : angle plat (figure 1), partage de l'angle droit (figure 2) et partage de l'angle de 360° (figure 3).

Enfin, la réalisation des figures 4 et 5 peut être l'occasion de réinvestir l'utilisation de la commande rep (repete) pour les élèves les plus avancés. En effet, son utilisation permet de raccourcir considérablement les programmes.

2. Bilan :

Comme bilan d'activité, il est demandé aux élèves de réaliser sur papier blanc les figures 3 et 4 de l'activité précédente en utilisant le compas et le rapporteur. Le souci reste de faire varier les supports afin de d'obtenir un transfert de compétences.

Du parallélogramme aux quadrilatères particuliers

1. Activité papier : Le point sur les quadrilatères

Afin de préparer la suite de la séquence, l'activité papier suivante est proposée.

Elle permet aux élèves de réactiver leurs connaissances concernant les quadrilatères. La correction est l'occasion d'une mise en commun, puis d'une formalisation des définitions du rectangle, du losange et du carré.

2. Activité informatique : Du parallélogramme aux quadrilatères

Les élèves ont souvent des difficultés pour caractériser les quadrilatères particuliers et pour faire le lien entre ceux-ci et le parallélogramme. Les raisons sont multiples mais les principaux obstacles tiennent sans doute à la notion de condition nécessaire et suffisante et à la difficulté de l'illustrer à l'aide de tracés sur un support papier. Cette activité propose une alternative en supprimant dans un premier temps la construction sur papier et en déterminant les caractéristiques des quadrilatères à partir de la procédure parallélogramme définie lors de la précédente activité.

Notions rencontrées :

Découvrir le lien entre les quadrilatères particuliers et le parallélogramme.

Formuler les propriétés caractéristiques du carré, de rectangle et du losange à partir du parallélogramme.

Travail sur la notion de variable : fixer une ou deux variables pour obtenir des cas particuliers.

Organiser la construction de figures à base de plusieurs quadrilatères.

Calcul d'angles (complémentaires/supplémentaires).

L'activité peut se réaliser à partir d'un fichier GéoTortue vide accompagné de la feuille de travail ci-contre ou à partir de l'activité "Quelques quadrilatères particuliers" accessible depuis l'onglet "activités" de GéoTortue, ce qui permet d'avoir les consignes directement dans le logiciel.

Il doit réaliser chacune des figures à l'aide de la tortue en utilisant la procédure parallélogramme et écrire le programme correspondant.

La première figure n'est présente que pour s'assurer de la bonne utilisation de la procédure parallélogramme ainsi que pour permettre à l'élève de se rappeller l'ordre des variables (Longueur1, Longueur2, angle).

Pour réaliser les figures suivantes, il doit fixer une des variables (l'angle pour le rectangle et les côtés pour le losange) ou deux variables (l'angle et les côtés pour le carré). Aucune dimension n'est précisée afin de laisser l'élève procéder par essais et tester autant qu'il le souhaite la validité de ses réponses. Deux exemples dans chaque cas sont néanmoins demandés.

Ensuite, il doit répondre aux questions posées pour le guider et le mener aux propriétés caractéristiques du rectangle, du losange et du carré. Il est possible que certains écrits soient assez approximatifs et encore loin d'une formulation académique car la généralisation demandée pour répondre aux questions nécessite un saut qualitatif important de la part des élèves. Cela sera reformulé lors du bilan.

Nous pouvons ensuite proposer d'écrire les procédures rectangle, losange et carré à l'aide de la procédure parallélogramme. Ce travail sur les variables et la programmation de procédure pose un problème d'abstraction important. Ainsi, il n'est à proposer qu'aux élèves les plus avancés.

Les résultats attendus sont :

pour rectangle L1 L2
parallélogramme L1 L2 90
fin

pour losange L a
parallélogramme L L a
fin

pour carré L
parallélogramme L L 90
fin

Avec des quadrilatères

1. Activité Informatique :

Pour réaliser la figure 1, l'élève doit faire un travail d'analyse afin de décomposer celle-ci en figures élémentaires. Il doit réaliser à la suite un rectangle, un losange et un carré en s'appuyant sur les propriétés de longueur et d'angle de chacun de ces quadrilatères. Afin d'enchaîner les figures, il doit déplacer et positionner correctement la tortue, ce qui implique plusieurs calculs d'angle (complémentaires et supplémentaires). La réalisation de cette figure est donc un bilan de tout ce qui a été vu jusqu'alors.

La figure 2 est un bâtiment dessiné en perspective cavalière. Elle est donnée sans aucune mesure de manière à laisser une totale liberté aux élèves. Il est évident que le choix d'un angle de 45° pour l'inclinaison de la profondeur simplifie la construction. Cette figure est longue et complexe pour les élèves car le positionnement de la tortue peut être parfois compliqué. Outre le fait de complexifier encore les constructions, le but est aussi de faire travailler les élèves sur la géométrie dans l'espace en commençant par leur faire réaliser que la perspective cavalière se dessine à base de parallélogrammes.

Comme bilan d'activité, il est demandé aux élèves de réaliser sur papier blanc la figure1 en utilisant le compas et le rapporteur.

2. Bilan :

A partir des réponses situées dans la 1ère fiche de travail, un bilan est réalisé sur les propriétés caractéristiques des quadrilatères :

un rectangle est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs formant un angle droit.

un losange est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.

un carré est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur et formant un angle droit.

La correction de la construction de la figure 1 de la deuxième activité est l'occasion de s'assurer de la bonne utilisation des instruments par les élèves et de vérifier l'acquisition des notions travaillées en salle informatique.

Notions qui restent à étudier

Le travail détaillé dans cet article permet de caractériser le parallélogramme et les quadrilatères particuliers par leurs angles et les longueurs de leurs côtés. Pour que cet étude soit complète, il faudra caractériser le parallélogramme et les quadrilatères par leurs diagonales. GéoTortue n'est sans doute pas l'outil le plus adapté pour cela car le tracé d'un triangle n'y est pas aisé. Il faudra sans doute privilégier le logiciel Géogebra avec une approche basée sur la symétrie centrale (article à venir).

DGPad, un logiciel de géométrie dynamique à découvrir

S. Petitjean — 2017-05-06T13:58:57Z

DGPad est un logiciel de géométrie dynamique pour tablette et PC. Il propose aussi une tortue que l'on programme à l'aide de blocs. Il est pensé pour tablette ce qui change radicalement des interfaces de logiciel pensées pour les ordinateurs et transposées sur tablette. La prise en main est donc quelque peu déroutante au départ.

DGPad est disponible sur iPad et sur tablette Android. On peut le télécharger dans leurs "magasins" respectifs.

DGPad est aussi proposé sur ordinateur par le biais de la webApp disponible à cette adresse : https://www.dgpad.net/

Sommaire

Premières utilisations

Afin de voir rapidement de quoi il retourne, voici une activité DGPad que nous proposions déjà avec Geogebra. Il s'agit de reproduire la figure proposée :

cliquez sur l'image pour ouvrir l'activité

Pour amorcer la construction :

faire un "tap" (ou un clic avec la souris) sur un point. Une palette avec de nombreux outils apparaît.
Sélectionner le segment

et sans lever le doigt (ou la souris), joindre un autre point pour tracer le segment.
répéter autant que nécessaire l'étape précédente,
utiliser l'outil polygone

pour créer les formes,
utiliser l'outil

pour modifier la couleur des polygones,
cacher les éléments superflus avec l'outil gomme situé dans la barre d'outil du bas de la fenêtre.

Vous avez l'essentiel du principe de fonctionnement de DGPad, ce qui peut être perturbant lorsqu'on est habitué à Geogebra. On s'adapte malgré tout assez vite avec un peu de persévérance.

DGPad, un logiciel de géométrie dynamique de plus ?

Comme décrit précédemment, DGPad est d'abord un logiciel destiné aux tablettes tactiles. Il prend donc en charge les mouvements de doigt spécifiques aux tablettes (gestures, zoom à deux doigts ...). Son interface est très épurée. Son fonctionnement assez intuitif est basé sur les objets et non sur les outils.

Nous pouvons souligner un certains nombres de caractéristiques convaincantes du logiciel :

sa grande efficacité sur tablette en terme de maniabilité et d'ergonomie,
une conception différente de la manière de faire de la géométrie dynamique,
des environnements de construction très complets,
sa légèreté,
son évolution rapide, le projet étant très actif,
sa gestion des macros très intuitive,
la possibilité d'incorporer n'importe quelle figure DGPad dans une page web.
la portabilité des figures DGPad sur tous les supports (un simple fichier texte).
la possibilité d'intervenir aisément sur ce fichier texte pour modifier des valeurs, des options, créer des objets, copier des macros, créer des scripts ...

Du côté des manques, nous voyons deux limitations importantes à son utilisation avec les élèves :

le fait que les palettes d'outils ne soient pas configurables. Avec les élèves débutant sur ce logiciel en primaire ou en début de collège, nous estimons que les palettes complètes ajoutent des difficultés lors de la prise en main, l'élève étant soit perdu soit passant plus de temps à chercher les outils qu'à les utiliser. De plus, limiter ou imposer des outils dans la résolution d'un problème présente à nos yeux un intérêt pédagogique certain que nous ne pouvons actuellement mettre en place avec DGPad.
l'utilisation des transformations avec les polygones nous paraît peu pratique, DGpad ne construisant que le transformé d'un point sur le polygone choisi mais pas le polygone transformé lui-même. Bien que l'on puisse contourner ce problème en traçant le lieu du point ensuite, cela nous paraît peu efficace.

Malgré ces deux points, qui nous l'espérons évolueront rapidement, le logiciel est déjà très abouti et plein d'avenir. Il propose d'aborder la géométrie dynamique de manière différente et ainsi présente un intérêt pédagogique prometteur.

Quelques liens pour se familiariser avec le logiciel

Comme il ne s'agit pas pour nous de faire un manuel d'utilisation et ni de récrire ce que d'autres ont très bien fait, voici quelques liens :

Pour découvrir et s'initier :
- les tutoriels DGPad par l'auteur du logiciel, Éric Hakenholz, sur le site de DGPad.
- les didacticiels de L'IREM de Toulouse à cette adresse.

Pour approfondir et voir ce qu'il est possible de réaliser avec DGPad, un article très complet et très pointu d'Yves martin à cette adresse.

Pour appréhender la mise en œuvre d'activités avec les élèves, un module de formation crée par Monique Gironce dans le cadre d'un stage académique à cette adresse.

Et la tortue DGPad ?

Nous restons toujours aussi attachés à GéoTortue, logiciel que nous continuons de peaufiner à l'IREM Paris-Nord car nous pensons qu'il reste pertinent pour faire des mathématiques en programmant. L'utilisation de blocs semble certes efficace pour débuter la programmation mais elle devient rapidement fastidieuse. Nous pensons, malgré la généralisation de l'utilisation des blocs, qu'écrire du code est formateur tout en restant accessible à des élèves dès l'école primaire.
GéoTortue reste, de plus, très performant dans certains domaines spécifiques comme l'utilisation de plusieurs tortues ou la 3D.

Néanmoins, tant qu'à enseigner la programmation avec des blocs, DGPad nous semble une alternative sérieuse et tout à fait viable à Scratch. DGPad apporte, de plus, des fonctionnalités supplémentaires par rapport à GeoTortue. En effet, il est possible dans DGPad d'insérer des variables graphiques dans un code de tortue.
On peut observer cela sur les deux fichiers suivants où les lignes sont créées avec la tortue tout en prenant en compte certaines variables numériques représentées par des curseurs (cliquez sur les images pour ouvrir les fichiers) :

Assiettes

Ça pousse !

Cet environnement dynamique dans lequel est plongé la tortue étend donc le champ des possibles pour la géométrie de tortue et les situations pédagogiques que l'on peut proposer aux élèves.

Les activités DGPad de l'IREM Paris Nord

Actuellement, la majorité des activités informatiques de notre IREM sont réalisées avec Geogebra. Nous allons donc progressivement les proposer avec DGPad, lorsque c'est possible, puis sans doute en créer de nouvelles à mesure que le logiciel évoluera et que notre maîtrise de celui-ci progressera.

L'ensemble des activités informatiques avec DGPad est accessible sur Rubricamaths en suivant ce lien (activités non classées) ou ce lien (avec les autres activités informatiques de l'IREM et classées par rubriques).

Les arts de l'Islam - un projet en cycle 4

S. Petitjean — 2017-03-31T10:38:02Z

Le projet a été réalisé durant l'année 2016-2017 dans la classe de 5è03 du Collège Condorcet (Paris) et imaginé par Jean-Baptiste Olin (français) et Stéphan Petitjean (maths).

Il a été reconduit durant l'année 2017-2018 dans la classe de 5è01 du même établissement scolaire. Le projet a été quelque peu modifié, tant en Français qu'en mathématiques, afin de le rendre plus efficace auprès des élèves.
Ces améliorations sont décrites en fin d'article, le reste étant la description du projet initial.

Sommaire du projet originel (2016-2017)

Description du projet pluridisciplinaire

Le travail en mathématique : Les arts de l'Islam

Les productions liées au projet

Retour d'expérimentation et évolutions possibles

Quelques liens et livres

Sommaire du projet 2017-2018

Quelques modifications et améliorations par rapport au projet originel

Observation et création de pavage islamique

Quelques travaux d'élèves

Les productions liées au projet 2017-2018

Retour d'expérimentation

Article écrit par Stéphan Petitjean (contact)

Description du projet pluridisciplinaire

Le projet est construit autour de quatre visites au musée du Louvre. Chaque visite a une thématique différente. Les disciplines se regroupent autour de ces thématiques à des degrés différents.

1ère visite : Découverte du musée du Louvre (Histoire, Français)
2ème visite : Les arts de l'Islam (Maths, Français, Histoire)
3ème visite : La mythologie antique (Latin, Français, Histoire, Maths)
4ème visite : La renaissance (Arts plastiques, Maths, Histoire)

Le travail autour des arts de l'Islam s'articule autour de deux disciplines principalement, le Français et les Mathématiques, de la manière suivante :

en Français :
- La découverte d'œuvres et d'objets ayant une portée culturelle et architecturale lors de la visite au musée.
- un travail de lecture et d'écriture autour de Sindbad le marin.

en Mathématiques :
- La découverte d'œuvres et d'objets comportant des pavages décoratifs lors de la visite au musée.
- un travail sur papier dont l'objectif est d'extraire le motif minimal permettant le pavage.
- un travail utilisant l'outil informatique dont l'objectif est de construire le pavage à partir du motif minimal.

La suite de cet article présente le travail effectué en mathématique, le travail en français sera évoqué dans la partie consacrée aux productions liées au projet.

Le travail en mathématique : La visite au musée

La visite est organisée sous la forme d'un rallye. Les élèves sont regroupés par 3 ou 4 et doivent trouver les œuvres à partir d'énigmes. Toutes les œuvres se situent dans la grande salle du bas du pavillon des arts de l'Islam du musée du Louvre. Une fois découvertes, ils doivent les photographier, localiser leur provenance sur un fond de carte puis venir voir un adulte pour confirmation.

Trois énigmes sont données au départ à chaque groupe. Des indices supplémentaires sont prévus dans le cas où un groupe serait bloqué. Lorsqu'un groupe a trouvé les solutions des trois énigmes, d'autres lui sont proposées.

Ce rallye dure environ 45 minutes.

documents de la visite

Les œuvres à découvrir sont les suivantes :

Jali aux triangles

Inde du nord, région de Fatehpur Sikri, début du 17è siècle, Grès rouge sculpté.

Jali en forme de double porte

Inde, région de Fatehpur Sikri, 4è quart du 16è, Grès rouge

Fragment de meuble

Egypte, fin du 13è début 14è, Bois et Ivoire

Elément de frise

Ouzbékistan, 14è siècle, céramique sculptée sous glaçure.

Carreau de revêtement

Damas, Syrie, 1550-1650 , céramique peint sous glaçure

Carreau de revêtement

Turquie, 1560-1580, céramique peinte sous glaçure.

Etoile à 12 branches

Iran ou Asie centrale, 15è, céramique.

Corne à poudre

Inde (Moghol), 18è, Ivoire et cuivre.

Repose-pied

Inde (Moghol), début 18è, marbre incrusté de pierre dures.

Plat de réception

Iznik, Turquie, 16è (1510-1520), céramique.

Le travail en mathématique : Du pavage au motif minimal

Le travail proposé aux élèves se réalise en classe à partir d'activités sur support papier. Les élèves sont en groupe (les mêmes que pour la visite).
L'objectif du travail est d'isoler le motif minimal de chacun des pavages provenant des objets repérés lors de la visite.
Chaque groupe doit étudier au moins trois pavages.

Le travail sur ces activités dure environ 1h 30 min.

Les fiches de travail sont les suivantes :

oeuvre 1

oeuvre 2

oeuvre 3

oeuvre 4

oeuvre 5

oeuvre 6

oeuvre 7

oeuvre 8

oeuvre 9

oeuvre 10

Quelques activités complémentaires (pour les groupes en avance) :

oeuvre 1 (bis)

oeuvre 2 (bis)

oeuvre 3 (bis)

oeuvre 7 (bis)

Le travail en mathématique : Du motif minimal au pavage

Le travail proposé se réalise en salle informatique en utilisant le logiciel Geogebra. Les élèves travaillent individuellement.
L'objectif, cette fois, est de réaliser le pavage à partir du motif minimal, c'est-à-dire de faire la démarche inverse du travail proposé précédemment.

Chacun des fichiers est configuré de la même manière et comporte :

une image permettant d'identifier le pavage.
une barre d'outil simplifiée facilitant l'accès aux transformations.
le motif minimal du pavage.

Pour réaliser le pavage, il est nécessaire de tracer l'élément caractéristique de la transformation (droite, point, vecteur) puis d'appliquer la transformation correspondante (symétrie axiale, symétrie centrale ou rotation, translation).
Il est possible de sélectionner plusieurs éléments à transformer (en utilisant un clic droit) avant d'effectuer la transformation.
Plusieurs méthodes de construction sont possibles, les élèves sont donc laissés libres. Le professeur pourra montrer au besoin des manières de procéder plus efficaces, comme l'utilisation de la translation.
Lorsque la méthode de pavage semble maîtrisée par un élève, on lui laisse la possibilité de créer sa propre figure. Celles-ci seront sauvegardées et utilisées pour la production finale du projet.

La durée de ce travail sur support informatique est de 2h.

Les fichiers de travail sont les suivants (cliquez sur l'image pour ouvrir les fichiers Geogebra dans le navigateur) :

oeuvre 1

oeuvre 2

oeuvre 3

oeuvre 4

oeuvre 5

oeuvre 6

oeuvre 7

oeuvre 8

oeuvre 9

oeuvre 10

Tous les fichiers Geogebra

Les productions liées au projet

Vous trouverez ci-dessous le livret regroupant l'ensemble des productions des élèves :

Les textes réalisés en Français autour de Sindbad le marin.
Les figures réalisées à l'aide de Geogebra autour des pavages.

Le livret

Quelques précisions concernant le travail en français

Dans le cadre de l'objet d'étude portant sur le voyage et l'aventure, les élèves ont étudié les Voyages de Sindbâd pour leur faire saisir la similitude de démarche entre les artisans et les conteurs du Moyen-Orient. Dans les arts de L'Islam, le foisonnement décoratif nait de la duplication d'un même motif démultiplié en jouant des ressources des différentes symétries. De même les sept voyages de Sindbâd sont construits à partir d'un nombre limité de motifs narratifs que les conteurs reprennent et transforment de récits en récits : tempête, attaque d'un monstre, rivière souterraine, île paradisiaque, naufrage...
Les élèves ont appris dans un premier temps à identifier ces motifs narratifs et à repérer la structure commune à tous les voyages de Sindbad. Tout au long de la séquence, le travail sur les textes était réinvesti dans la production d'écrits intermédiaires : description d'une île idéale, invention d'une créature terrifiante, récit d'un naufrage.... En fin de séquence, tout ce travail a abouti à la rédaction par groupes de deux ou trois élèves du huitième voyage de Sindbâd. Chaque récit devait par ailleurs intégrer une œuvre choisie dans les collections des arts de l'islam. Ces écrits sont rassemblés dans un recueil illustré par les travaux de mathématiques .

Dans le cadre de l'histoire des arts, une dizaine d'objets ont été présentés sur place aux élèves afin de leur faire découvrir la variété des collections des arts de l'islam et de les faire réfléchir aux échanges avec la culture occidentale, échanges particulièrement sensibles dans l'histoire de certains objets comme le baptistère de Saint-Louis ou le globe céleste d'Asturlabi.

Jean-Baptiste Olin

Retour d'expérimentation et évolutions possibles

Retour d'expérimentation

La visite et le travail informatique n'ont posé aucun problème.

Le travail sur papier, par contre, a demandé un temps d'adaptation important. Durant la première séance de 45 minutes, plusieurs groupes n'ont pas saisi l'objectif final et ont piétiné. Les consignes données dans les fiches d'activités n'ont pas suffi ou n'étaient pas assez explicites. Les groupes ayant commencé par les pavages à base de ligne ont davantage été mis en difficulté que ceux ayant commencé par les pavages à base d'image. Une reprise a donc été nécessaire en classe entière. Elle a pris l'aspect d'une présentation imagée d'une démarche permettant d'isoler le motif minimal d'un pavage (pour obtenir le document, suivre ce lien). La deuxième séance de travail en groupe a été beaucoup plus efficace à la suite de cette reprise.

Évolutions possibles

Premier point
Personnellement, je regrette de n'avoir pu intégrer davantage d'œuvres provenant d'Espagne et du Maghreb. La collection du Louvre, bien qu'importante, ne dispose pas d'objets avec des pavages utilisables en classe provenant de ces régions du monde. Il pourrait être pertinent de faire quelques entorses au projet en proposant quelques œuvres qui ne font pas partie de la collection du Louvre. Ces œuvres pourrait avoir été rencontrées par les élèves en histoire (décors de Mosquée, de medersa, de palais ...) puis étudiées en mathématique. Cela permettrait, en outre, davantage de liberté dans le choix des œuvres, de leur provenance et dans le choix des types de pavages, s'appuyer sur une collection de musée étant très contraignante.

Deuxième point
Plusieurs élèves ont regretté de ne pouvoir colorier à leur convenance leurs figures réalisée sur Geogebra, principalement celles composées de lignes. En effet, le logiciel ne le permet pas facilement surtout que le nombre d'objets est très important. Pour palier à cet inconvénient, il est possible d'envisager, pour les pavages à base de lignes, d'utiliser le logiciel GéoTortue car il permet de colorier de manière intuitive et aisée les figures réalisées. De plus, la manière de réaliser le pavage avec une tortue est complètement différente de celle employée avec Geogebra. Cela peut permettre aux élèves de mettre en œuvre différemment leurs connaissances des transformations. Il faudra bien sûr que les élèves soient formés antérieurement à l'utilisation de ce logiciel de programmation.

Voici quelques fichiers .xrt relatif aux œuvres qui ont été donnés à certains élèves de la classe plus tard dans l'année, le projet étant alors clos et la production finale déjà achevée (cliquez sur les images pour obtenir le fichier) :

oeuvre 1

oeuvre 2

oeuvre 3

oeuvre 8

Les fichiers .xrt sont à ouvrir directement à partir du logiciel GéoTortue.

Pour avoir une idée de la réalisation d'un pavage avec une tortue, en l'occurrence, l'œuvre 3, vous pouvez cliquez sur l'image ci-dessous. L'animation est réalisée avec le logiciel DGPad. (au besoin, utiliser la molette pour zoomer et le clic droit pour déplacer l'animation).

Troisième point
Bien que les élèves aient éprouvé des difficultés dans le travail sur support papier et qu'ainsi ils aient pu percevoir la complexité d'un pavage, ils n'ont par contre pas pu appréhender la prouesse que représente sa conception. Nous pourrions les faire travailler sur des fichiers Geogebra laissant davantage de liberté et de création.

Les trois fichiers proposés ci-dessous permettent de manipuler le motif minimal en visualisant en temps réel l'effet sur le pavage (cliquez sur l'image pour ouvrir les fichiers Geogebra dans le navigateur) :

Manipuler un pavage /1

Manipuler un pavage /2

Manipuler un pavage /3

Nous pourrions demander aux élèves :

de déterminer les transformations nécessaires au pavage du plan et dans quel ordre.
de faire apparaître la figure usuelle la plus petite possible qui permet de paver le plan.
de réaliser un pavage de type islamique, c'est-à dire, un pavage dans lequel aucune ligne n'est interrompue.

Pour une utilisation optimale, il ne faut pas hésiter à utiliser le zoom et éventuellement la grille de Geogebra pour placer les points parfaitement.

Quelques liens et livres

Islamic Geométric Pattern, écrit par Eric Broug.
C'est un livre dans lequel l'auteur explique la construction à la règle et au compas de pavages islamiques décorant certaines mosquées ou palais. Les illustrations sont très claires et pédagogiques, les règles artistiques et mathématiques qui rendent spécifiques ces pavages sont très bien explicitées. Pour compléter ou se faire une idée sur internet :
- School of Islamic Geometric Design
- Broug.com

Culture :
- La collection du Louvre
- L'institut du monde arabe

Une banque impressionnante de motifs : Pattern in Islamic Art

Dans le domaine mathématique :
- un article de l'APMEP : L'Alhambra et ses pavages
- un article sur le site mathématique de l'académie de Nantes : frises et pavages
- Un projet sur le site de l'IREM de la Réunion : Algorithme de classification des 17 pavages
- un article très visuel sur les 17 pavages du plan par Thérèse Eveilleau : les 17 pavages du plan

Le projet 2017-2018

Quelques modifications et améliorations par rapport au projet originel

En mathématiques, le principal écueil rencontré l'année précédente était lié à la difficulté pour les élèves d'appréhender la notion de motif minimal dans le travail sur papier décrit dans la partie "Du pavage au motif minimal". De fait, il avait été nécessaire d'expliciter cette notion et les consignes entre les deux séances de travail en groupe, ce qui avait notoirement allongé la durée prévue pour ces travaux.
De plus, je regrettais personnellement de n'avoir pas su faire sentir aux élèves la virtuosité que représente la conception d'un pavage islamique.

Pour répondre à ces deux problématiques, un travail sur l'observation et la création par les élèves de pavages islamiques me semblait tout indiqué. Je l'avais d'ailleurs évoqué dans la partie précédente intitulée "évolutions possibles".
Ce travail a été placé avant la visite au Louvre et s'est poursuivis après la visite. C'est ce travail qui est décrit ci-dessous, le reste du projet ("La visite", "Du pavage au motif minimal", "Du motif minimal au pavage") étant identique.

En français, l'objectif final d'écriture du huitième voyage de Sindbâd par les élèves reste le même. Mais cette année, il s'articule autour de la conception et de l'utilisation d'un jeu de sept familles. Ce travail est plus amplement décrit dans la partie "Les productions liées au projet" ci-dessous.

Observation et création de pavage islamique

Préalablement à cette séquence d'enseignement, une présentation de 10 minutes est effectué en classe à partir du fichier suivant : exemple_pavage.pdf
L'objectif est de présenter rapidement ce qu'est un pavage islamique, qu'elle en sont les règles, et d'évoquer une première fois la recherche d'un motif minimal permettant le pavage.

La suite du travail se déroule sur deux heures en salle informatique à partir des fichiers suivants (cliquez sur les images pour ouvrir les fichiers dans le navigateur) :

Manipuler un pavage /1

Manipuler un pavage /2

Manipuler un pavage /3

Les consignes données sont les suivantes :
1) Détermine les transformations qui sont nécessaires pour paver le plan à partir du motif de départ.
2) Quelle est la figure usuelle la plus simple qui permet de paver le plan sans qu'il y ait d'espace dans le pavage ?
3) Réalise un pavage islamique (tu enregistreras ton travail dans ton dossier personnel).

Pour les questions 1) et 2), les élèves répondent sur un formulaire en ligne ayant la forme de QCM.
La question 1) est assez ouverte et offre un éventail de réponses correctes assez variées. Il n'y a donc pas de réponse attendue, l'objectif principal de cette question étant de forcer l'élève à réfléchir aux manières d'obtenir la pavage à partir du motif minimal déplaçable et de réinvestir ses connaissances sur les transformations.
Pour la question 2) par contre, une rapide mise en commun en classe sera réalisée lorsque tous les élèves y auront répondu pour les trois pavages proposés.

La question 3) porte l'objectif principal de la séquence, à savoir la création par les élèves d'un pavage islamique. Il est nécessaire de rappeler les caractéristiques d'un pavage islamique :
– les motifs sont tous joints (pas d'espace entre eux)
– les lignes ne sont jamais interrompues

Pour joindre les lignes et les motifs, il faut placer les points très précisément. L'utilisation du zoom de Géogebra est donc nécessaire.
Les créations d'élèves sont sauvegardées en image (.png) et colorisées avec un logiciel de retouche photo (ici Paint).

Après ces activités, la plupart des élèves ont une vision plus claire de la notion de motif minimal permettant le pavage.

Quelques travaux d'élèves

Pour chacun des trois types de pavage, les élèves ont réalisé des créations assez différentes et ont fait preuve de beaucoup d'imagination (cliquez sur les images pour les agrandir) :

Pavage de type 1

Pavage de type 2

Pavage de type 3

Pavage de type 1

Pavage de type 2

Pavage de type 3

Pavage de type 1

Pavage de type 2

Les productions liées au projet 2017-2018

Un livret a de nouveau été réalisé, regroupant l'ensemble des productions des élèves :

Les textes réalisés en Français autour de Sindbad le marin.
Les figures réalisées à l'aide de Geogebra autour des pavages : celles réalisées lors de la séquence "l'observation et la création de pavage" et celles réalisées lors de la séquence "Du motif minimal au pavage".

Quelques précisions concernant le travail en français
Conception d'un jeu des sept familles

Cette année, la classe a réalisé un jeu des sept familles à partir de Sindbâd de la mer, projet que je n'avais pas eu le temps de faire aboutir l'année précédente.

A la fin de la séquence, la conception du jeu amène les élèves à avoir un regard réflexif sur l'ensemble de l'œuvre étudiée. En effet pour définir les familles, ils doivent se mettre d'accord sur les sept thèmes les plus importants. Les élèves ont d'abord choisi ces sept thèmes en groupes. Puis un débat en classe entière a permis d'arriver au choix définitif : ce débat oblige les élèves à justifier leurs choix en revenant régulièrement au texte et en hiérarchisant les thématiques. Ensuite afin d'illustrer chacun de ces thèmes par six exemples, ils se sont replongés dans l'œuvre, alternant discussions, recours à la mémoire, lecture en diagonale. Là encore le débat en classe entière s'appuie sur des listes dressées auparavant en groupes.

Chaque carte devant être illustrée par un dessin, la réalisation matérielle du jeu sollicite les représentations mentales de chaque élève et amène à comparer comment chacun a visualisé les éléments clés choisis pour le jeu. De nouveau les discussions poussent les élèves à revenir au texte pour se mettre d'accord.

Le travail d'analyse mené pour la conception du jeu permet aux élèves de mieux comprendre les modalités d'écriture des sept voyages : comme beaucoup de contes, ceux-ci sont composés de reprises et de variations. Certaines créatures reviennent plusieurs fois, donnant son unité au récit : l'oiseau Rukhkh, le serpent géant, les géants... Certains épisodes aussi sont repris, mais avec suffisamment de variations pour éveiller la curiosité : l'exploration d'une nouvelle île, le naufrage, la découverte d'un peuple singulier, le sauvetage, la fuite par une rivière souterraine, les retrouvailles avec un équipage.

La conception du jeu sert ainsi de point d'appui pour l'écriture du huitième voyage que les élève réaliseront en groupe. En analysant les aventures de Sindbâd, ils comprennent que les récits ne naissent pas seulement du jaillissement de l'imaginaire. Écrire, c'est aussi s'inspirer d'autres textes, s'approprier une idée pour la transformer et la faire sienne. Cette prise de conscience permet de démystifier, de dédramatiser l'entrée dans l'écriture. Elle sert aussi à mettre en place des stratégies d'écritures : face à un sujet nouveau, face à la page blanche, il est utile de faire le point sur ce qu'il va être possible de reprendre des textes déjà lus ou déjà écrits. Pour concrétiser cette dimension de l'écriture, les élèves tirent au sort trois cartes du jeu des sept familles qu'ils devront utiliser dans leurs textes.

En conclusion, la conception du jeu des sept familles a nourri et dynamisé le travail d'analyse et d'écriture en donnant un objectif concret et ludique. Chaque élève a reçu en fin de séquence un jeu de quarante deux cartes rassemblant l'ensemble de leurs réalisations. Puis ils ont concrètement mis en pratique les théories de Catherine Tauveron sur la littérature comme jeu, en disputant des parties avec les cartes qu'ils avaient créées.

Jean-Baptiste Olin

Voici le jeu des sept familles créé par les élèves :

Les épreuves

Les lieux, les ruses, les matières précieuses

Les voyages, les aadjuvants, les créatures

Retour d'expérimentation

En mathématiques, l'apport du travail sur l'observation et la création de pavages islamiques, a nettement amélioré la compréhension des élèves sur les pavages, sur la notion de motif minimal et a ainsi beaucoup fluidifié l'enchaînement des différentes séquences proposées.
Pour parfaire encore le projet, on pourrait imaginer davantage de fichiers à partir desquels les élèves créent le leur. Ceux-ci seraient construis sur d'autres types de pavage, améliorant encore la diversité des productions d'élèves.

IREM Paris Nord

Géométrie dans l'espace : Les prismes

Prisme en perspective

Perspective et patron

Volume de prisme et activités d'approfondissement

Géométrie dans l'espace : Les pyramides

Sections de cubes et de pyramides

Perspectives et patron de pyramides

Patrons et projeté du sommet

Volume et calcul de longueur

Approfondissement et synthèses

Présentation de Rubricamaths

Quelques outils pour le confinement

Une variable discrète

Présentation des fichiers

Démarches et utilisations

Progression et résultats attendus

Pour continuer

La pratique des "micro-problèmes" au cycle 3

Activités rapides : apprivoiser la variable

Angles, parallélogrammes et programmation au cycle 4

Comparer et reproduire des angles

Angles et parallélisme

Angles et polygones réguliers

Le parallélogramme

Avec des parallélogrammes

Du parallélogramme aux quadrilatères particuliers

Avec des quadrilatères

Notions qui restent à étudier

DGPad, un logiciel de géométrie dynamique à découvrir

Premières utilisations

DGPad, un logiciel de géométrie dynamique de plus ?

Quelques liens pour se familiariser avec le logiciel

Et la tortue DGPad ?

Les activités DGPad de l'IREM Paris Nord

Les arts de l'Islam - un projet en cycle 4

Description du projet pluridisciplinaire

Le travail en mathématique : La visite au musée

Le travail en mathématique : Du pavage au motif minimal

Le travail en mathématique : Du motif minimal au pavage

Les productions liées au projet

Quelques précisions concernant le travail en français

Retour d'expérimentation et évolutions possibles

Quelques liens et livres

Le projet 2017-2018

Quelques modifications et améliorations par rapport au projet originel

Observation et création de pavage islamique

Quelques travaux d'élèves

Les productions liées au projet 2017-2018

Quelques précisions concernant le travail en français Conception d'un jeu des sept familles

Quelques précisions concernant le travail en français
Conception d'un jeu des sept familles