IREM Paris Nord

Visualiser dans l'espace pour dénombrer

S. Petitjean — 2019-05-25T13:32:08Z

Tous les fichiers évoqués dans cet article sont accessibles en ligne ou au téléchargement sur Rubricamaths. Pour une lecture agréable et efficace de l'article, vous pouvez ouvrir cette page dans un nouvel onglet.

Sommaire

Présentation des fichiers

Tous les fichiers de cette série fonctionnent de la même manière et s'adressent principalement aux élèves de fin de cycle 3. Un solide manipulable est proposé. Il faut déterminer le nombre de sommets, de faces et d'arêtes du solide. L'élève peut saisir ses réponses qui seront validées (vert) ou invalidées (rouge).

Pour faire un travail plus approfondi, il est possible de demander la nature des faces de chaque solide. Par contre, il n'y a pas de vérification automatisée.

La zone de saisie étant une zone de calcul formel, l'élève peut saisir des suites de calculs organisés sur une ligne.

Les objectifs de cette séquence sont multiples :

Travailler la vision dans l'espace :
- Voir ce qui est caché.
- Travailler sur la nature des faces
- Comprendre que la vue d'une face est déformée par la perspective sauf lorsqu'on la voit de face.
Travailler sur le vocabulaire nécessaire à la description d'un solide.
Organiser un dénombrement.
Gérer l'hétérogénéité en proposant des activités de recherche à la fin de la série.

Par exemple, l'activité "Un tétrakaidécaèdre" accessible ici, se présente de la manière suivante (Cliquez pour voir l'image en grand) :

La réponse attendue ici est :
– Sommet = 16
– Faces = 14 (dont 2 carrés, 4 rectangles et 8 trapèzes isocèles)
– Arêtes = 28

Démarches et utilisations

Déterminer le nombre de sommets, de faces et d'arêtes d'un solide nécessitent de la part de l'élève une représentation mentale claire de celui-ci. En effet, le comptage s'opérant la plupart du temps à partir d'une vue fixe du solide, l'élève doit voir, imaginer ce qui est caché. Le fait qu'il puisse manipuler le solide à sa guise permet de construire cette représentation.

La difficulté croissante des solides proposés oblige rapidement l'élève à passer d'un comptage empirique de un en un, à un comptage expert à base de calcul. Il lui faut de plus prendre des points de repère : la plupart du temps, il s'organise pour compter du haut vers le bas.

Ainsi, pour le tétrakaidécaèdre, le comptage peut prendre cette forme :

Comptages des sommets

Comptage des faces

Comptage des arêtes

Le travail sur la nature des faces vise à compléter la représentation mentale du solide. Il permet de faire prendre conscience de manière sensible à l'élève que la représentation dans l'espace déforme sauf lorsque l'on place la figure souhaitée dans une vue de face.
Comme il peut être parfois difficile de faire une vue de face précise seulement en manipulant l'espace graphique, l'outil "vue de face" de Géogebra peut être utile. Son utilisation est illustrée ci-dessous :

Cette série d'activités peut être utilisée collectivement en classe (dans ce cas, c'est l'enseignant qui manipule l'espace 3d) ou bien de manière individuelle sur un support numérique (tablette, PC en salle informatique ...) que ce soit en classe ou à la maison. Dans ce dernier cas, Il peut être pertinent de demander une trace écrite aux élèves afin de voir leur progression. En effet, sans trace écrite, il peut être difficile d'évaluer ce qui a été fait ou pas par l'élève, dans quel ordre, s'il a réfléchi aux natures des faces ...

Ces deux manières d'utiliser les activités peuvent évidemment être menées conjointement.

Progression et résultats attendus

La progression proposée sur Rubricamaths est basée sur une complexification progressive des solides que se soit en terme de nombre de sommets ou que se soit en terme de difficulté à voir. En effet, certains solides sont faciles à percevoir car ils offrent des points de repère évidents même avec de nombreux sommets (les prismes ou les pyramides). D'autres sont plus difficiles à percevoir alors qu'ils ne présentent pas un nombre de sommets très importants (le dodécaèdre rhombique). Quelques solides très difficiles sont proposés à la fin de la série pour gérer les élèves en avance (à partir de l'icosaèdre tronqué). Les tous derniers sont à priori infaisables (surtout concernant le nombre d'arête) mais ils sont une source d'émerveillement et de curiosité qu'il serait dommage de ne pas leur faire partager.

Ci-dessous, les réponses attendues pour chacune des activités :

1. Le cube • Sommets = 8
• Faces = 6 (dont 6 carrés)
• Arêtes = 12

2. Tétraèdre régulier • Sommets = 4
• Faces = 4 (dont 4 triangles équilatéraux)
• Arêtes = 6

3. La pyramide à base carrée • Sommets = 5
• Faces = 5 (dont 1 carrés et 4 triangles isocèles)
• Arêtes = 8

4. l'octaèdre régulier • Sommets = 6
• Faces = 8 (dont 8 triangles équilatéraux)
• Arêtes = 12

5. Un prisme • Sommets = 16
• Faces = 10 (dont 2 octogones non réguliers et 8 rectangles)
• Arêtes = 24

6. Un antiprisme • Sommets = 14
• Faces = 16 (dont 2 heptagones réguliers et 14 triangles isocèles)
• Arêtes = 28

7. Un tetrakaidecaèdre • Sommets = 16
• Faces = 14 (dont 2 carrés, 4 rectangles et 8 trapèzes isocèles)
• Arêtes = 28

8. Un décaèdre • Sommets = 7
• Faces = 10 (dont 10 triangles isocèles)
• Arêtes = 15

9. Un prisme étoilé • Sommets = 24
• Faces = 14 (dont 2 étoile à 6 branches et 12 rectangles)
• Arêtes = 36

10. Le tétraèdre tronqué • Sommets = 12
• Faces = 8 (dont 4 hexagones réguliers et 4 triangles équilatéraux)
• Arêtes = 18

10. Le triaki-tétraèdre • Sommets = 8
• Faces = 12 triangles isocèles)
• Arêtes = 18

11. Le cube tronqué • Sommets = 24
• Faces = 14 (dont 6 octogones réguliers et 8 triangles équilatéraux)
• Arêtes = 36

11. Le triaki-octaèdre • Sommets = 14
• Faces = 24 triangles isocèles
• Arêtes = 36

12. L'octaèdre tronqué • Sommets = 24
• Faces = 14 (dont 6 carrés et 8 hexagones réguliers)
• Arêtes = 36

12.Le tétraki-hexaèdre • Sommets = 14
• Faces = 24 triangles isocèles
• Arêtes = 36

13. Le cubeoctaèdre • Sommets = 12
• Faces = 14 (dont 10 carrés et 8 triangles équilatéraux)
• Arêtes = 24

14. Le dodécaèdre rhombique • Sommets = 8
• Faces = 12 (dont 12 losanges)
• Arêtes = 24

15. Le rhombicubeoctaèdre • Sommets = 24
• Faces = 26 (dont 18 carrés et 8 triangles équilatéraux)
• Arêtes = 48

15. L'icositétraèdre trapézoïdal • Sommets = 26
• Faces = 24 cerf-volants
• Arêtes = 48

16. Le dodécaèdre régulier • Sommets = 20
• Faces = 12 (dont 12 pentagones réguliers)
• Arêtes = 30

17. L'icosaèdre régulier Sommets = 12
• Faces = 20 (dont 20 triangles équilatéraux)
• Arêtes = 12

18. Le cubeoctaèdre tronqué • Sommets = 48
• Faces = 26 (dont 8 hexagones réguliers, 12 carrés et 6 octogones réguliers)
• Arêtes = 36

19. L'hexaki-octaèdre • Sommets = 26
• Faces = 48 triangles isocèles
• Arêtes = 36

20. Le cube adouci • Sommets = 24
• Faces = 38 (dont 6 carrés et 32 triangles équilatéraux)
• Arêtes = 72

21. L'icositétraèdre pentagonal • Sommets = 38
• Faces = 24 pentagones (non réguliers)
• Arêtes = 72

22. L'icosidodécaèdre • Sommets = 30
• Faces = 32 (dont 12 pentagones réguliers et 20 triangles équilatéraux)
• Arêtes = 60

23. Le dodécaèdre tronqué • Sommets = 60
• Faces = 32 (dont 12 décagones réguliers et 20 triangles équilatéraux)
• Arêtes = 90

24. Le triaki-icosaèdre • Sommets = 32
• Faces = 60 triangles isocèles
• Arêtes = 90

25. L'icosaèdre tronqué • Sommets = 60
• Faces = 32 (dont 12 pentagones réguliers et 20 hexagones réguliers)
• Arêtes = 90

26. Le pentaki-dodécaèdre • Sommets = 32
• Faces = 60 triangles isocèles
• Arêtes = 90

27. Le rhombicosidodécaèdre • Sommets = 60
• Faces = 62 (dont 12 pentagones réguliers, 30 carrés et 20 triangles équilatéraux)
• Arêtes = 120

28. L'hexacontaèdre trapézoïdal • Sommets = 62
• Faces = 60 cerf-volants
• Arêtes = 120

29. L'icosidodécaèdre tronqué • Sommets = 120
• Faces = 62 (dont 12 décagones réguliers, 20 hexagones réguliers et 30 carrés)
• Arêtes = 180

30. L'hexaki-icosaèdre • Sommets = 62
• Faces = 120 triangles isocèles
• Arêtes = 180

31. Le dodécaèdre adouci • Sommets = 60
• Faces = 92 (dont 12 pentagones réguliers et 80 triangles équilatéraux)
• Arêtes = 150

32. L'hexacontaèdre pentagonal • Sommets = 92
• Faces = 60 pentagones (non réguliers)
• Arêtes = 150

Quelques éléments de classification des solides

On retrouve dans les solides proposés :

1) Les cinq solides de Platon (polyèdres réguliers)

le tétraèdre régulier
le cube
l'octaèdre régulier
le dodécaèdre régulier
l'icosaèdre régulier

2) Les treize solides d'Archimède (polyèdres semi-réguliers autres que les polyèdres réguliers, les prismes et les antiprismes)

le tétraèdre tronqué
le cube tronqué
l'octaèdre tronqué
le cubeoctaèdre
le rhombicubeoctaèdre
le cubeoctaèdre tronqué
le cube adouci
le dodécaèdre tronqué
l'icosaèdre tronqué
l'icosidodécaèdre
le rhombicosidodécaèdre
l'icosidodécaèdre tronqué
le dodécaèdre adouci

3) Les solides de Catalan (duaux des solides d'Archimède)

le triaki-tétraèdre (dual du tétraèdre tronqué)
le triaki-octaèdre (dual du cube tronqué)
le tétraki-hexaèdre (dual de l'octaèdre tronqué)
le dodécaèdre rhombique (dual du cubeoctaèdre)
L'icositétraèdre trapézoïdal (dual du rhombicuboctaèdre)
l'hexaki-octaèdre (dual du cuboctaèdre tronqué)
l'icositétraèdre pentagonal (dual du cube adouci)
le triaki-icosaèdre (dual su dodécaèdre tronqué)
le pentaki-dodécaèdre (dual de l'icosaèdre tronqué)
le triacontaèdre rhomique (dual de l'icositétraèdre)
l'hexacontaèdre trapézoïdal (dual du rhombicosidodécaèdre)
l'hexaki-icosaèdre (dual de l'icosidodécaèdre tronqué)
l'hexacontaèdre pentagonal (dual du dodécaèdre adouci)

4) Quelques solides des types suivants :

prismes
antiprismes
pyramides
bipyramides

Pour des informations plus exhaustives, le site Mathscurve est une référence.

Visualiser/Construire dans l'espace pour calculer des volumes

S. Petitjean — 2019-03-24T19:44:09Z

Tous les fichiers évoqués dans cet article sont accessibles en ligne ou au téléchargement sur Rubricamaths. Il s'agit d'activités utilisant l'application web Scene3D/Cubes.

Ils sont proposés dans deux versions :
– dans la première, l'élève se contentera de manipuler et de visualiser le solide : Visualiser des solides pour calculer des volumes.
– dans la deuxième, il devra construire le solide : Construire des solides pour calculer des volumes.

Sommaire

Présentation des fichiers

Tous les fichiers de cette série fonctionnent de la même manière selon la version choisie et s'adressent principalement aux élèves de fin de cycle 3. Un solide est proposé. Il faut le manipuler ou le construire selon la version puis déterminer le volume du solide en dénombrant le nombre total de petits cubes unités. L'élève peut saisir sa réponse qui sera validée (vert) ou invalidée (rouge).

La zone de saisie étant une zone de calcul formel, l'élève peut saisir des suites de calculs organisés sur une ligne.

Les objectifs de cette séquence sont multiples :

Découvrir et maîtriser les formules du volume d'un cube et du volume d'un pavé.
Inciter l'élève à progressivement abandonner le dénombrement en comptant un par un les petits cubes pour des procédures expertes utilisant plusieurs calculs combinés correspondant à des additions ou des soustractions de volumes connus.
Consolider la notion de volume en la mettant en regard avec la notion d'aire.
Gérer l'hétérogénéité en proposant des activités de recherche à la fin de la série.
Travailler, éventuellement, la production de calculs organisés sur une seule ligne.

Par exemple, l'activité "Cube écorné (1)" se présente de la manière suivante selon la version choisie (Cliquez pour voir l'image en grand) :

Visualiser

lien vers le fichier : le cube écorné(1)

Construire

lien vers le fichier : le cube écorné(1)

La démarche attendue ici ressemble à ceci : (6 x 6 x 6) - 8 = 208
Le parenthésage, inutile dans l'exemple précédent, est laissé à la discrétion de l'élève en cycle 3 et peut être interdit au cycle 4 lorsque les priorités opératoires sont acquises.

Vous trouverez de plus amples informations sur la manière d'utiliser la version "Construire" dans l'aide intégrée à l'application et dans cet article : Scène3D/Cubes

Plusieurs utilisations

Concernant les modalités d'utilisation de ces activités, l'enseignant peut choisir de demander une trace écrite ou non, de demander d'organiser les calculs sur une seule ligne ou d'organiser les calculs par étapes ou encore de demander uniquement les résultats. Cela relève de ses choix pédagogiques.
Néanmoins, la présence d'une zone de saisie acceptant toutes les expressions algébriques correctes est l'occasion de travailler sur la production de calculs organisés sur une seule ligne qui est une étape majeure dans l'apprentissage de la notion de variable.

Ces activités sont un support idéal pour ce genre de travail car :

les élèves sont confrontés rapidement à des calculs nécessitant la calculatrice. La zone de saisie remplit aisément cette fonction.
les élèves peuvent écrire leur propre suite de calcul, la zone de saisie déterminera si l'expression est correcte quelle qu'en soit la forme ou quel que soit le raisonnement suivi :
- 7 x 7 x 4 + 2 x 3 x 4 sera validé au même titre que (7 x 7 x 4) + (2 x 3 x 4) ou que 4 x 3 x 2 + 4 x 7 x 7.
- 8 x (3 x 3 x 3 − 2 x 2 x 2) + 5 x 5 x 5 sera validé au même titre que 7 x 7 x 7 - 9 x 6 - 12
On peut aisément adapter nos exigences en fonction du niveau de l'élève. En cycle 3, on laissera les élèves mettre des parenthèses aux endroits qui leur semblent nécessaires, alors qu'au cycle 4, on leur imposera d'éliminer celles qui sont inutiles.
La validation est immédiate ce qui permet aux élèves de tester leur expressions, de les modifier aisément et donc d'arriver à une expression correcte rapidement.

En dehors de ces modalités, deux utilisations différentes de cette série d'activités se dégagent :

l'utilisation collective en classe notamment avec la version "visualiser".
l'utilisation individuelle sur un support numérique (tablette, PC en salle informatique ...) en classe ou à la maison pour les deux versions.

Ces deux manières d'utiliser les activités peuvent évidemment être menées conjointement.

Dans une utilisation collective

Certaines activités de la série peuvent être proposées en activités flash en début d'heure. Elles sont projetées à l'ensemble de la classe qui cherche au brouillon la réponse à la question posée. Si l'on veut travailler efficacement la production de calculs organisés sur une seule ligne, on peut autoriser la calculatrice en ne donnant le droit d'appuyer qu'une seule fois sur le signe "=".
La recherche doit être courte de manière à ce que la validation arrive assez rapidement. Lors de la mise en commun, plusieurs solutions correctes correspondant à des raisonnements différents pourront être évoquées et ainsi on rencontrera certaines propriétés algébriques (distributivité, priorités des opérations, ...)

Dans une utilisation Individuelle

La série d'activités permet une autonomie presque complète des élèves, ceux-ci testant leurs réponses jusqu'à la validation. Ainsi, ils progressent à leur rythme tout en échangeant avec leurs camarades en cas de besoin.
Cela permet à l'enseignant de gérer l'hétérogénéité de la classe et de se concentrer sur les élèves ayant des blocages importants.
Si l'on veut travailler efficacement la production de calculs organisés sur une seule ligne, il peut s'avérer utile d'exiger une trace écrite. Les élèves seront davantage contraints. De plus, un travail visant à améliorer leurs expressions algébriques pourra être réalisé (les données du problème sont-elles toutes présentes dans l'expression ? peut-on l'écrire plus simplement ? ...)

Progression et résultats attendus

La progression proposée sur Rubricamaths suit les étapes suivantes :

dénombrement simple (solides 1 à 4) : possibilité de compter un par un les petits cubes.
incitation à avoir des procédures de calcul (solides 5 et 6).
mise en œuvre d'une stratégie de dénombrement (solides 7 et 8).
découverte du volume du cube et du volume du pavé (solides 9, 10 et 11).
compositions simples de cubes et de pavés (solides 12 à 16) : additions et soustraction de volumes).
compositions complexes de cubes et de pavés (solides 17 à 27).
mise en regard de la notion de volume et de la notion d'aire (solides 2, 3, 25 et 29).
problème de recherche : la procédure menant à la solution est difficile et/ou atypique (suivre ce lien et ce lien pour obtenir quelques éléments de réponses).

Ci-dessous, les réponses attendues pour chacune des activités :

1. Croix (1) Volume = 13 cm³

2. Cube fil (1) Volume = 12 x 6 +8
Volume = 80 cm³

3. Croix (2) Volume = 5 x 6 +1
Volume = 31 cm³

4. Cube fil (2) Volume = 12 x 9 + 8
Volume = 116 cm³

5. Escalier (1) Volume = 5 x (5 + 4 +3 +2 +1)
Volume = 75 cm³

6. Escalier (2) Volume = 5 x 5 x 5 - (1+ 4 + 9 + 16)
Volume = 95 cm³

7. Des petits cubes (1) Aire = 21 X 2 + 6 X 4
AIre=66 cm²

8. Des petits cubes (2) Aire = 20 X 2 + 24 + 16
Aire = 80 cm²

9. Le cube Volume = 7 x 7 x 7
Volume = 343 cm³

10. Le pavé (1) Volume = 9 x 6 x 5
Volume = 270 cm³

11. Le pavé (2) Volume = 10 x 5 x 4
Volume = 200 cm³

12. Cubes assemblés Volume = 7 x 7 x 7 + 4 x 4 x 4
Volume = 407 cm³

13. Pavés assemblés Volume = 6 x 8 x 4 + 4 x 2 x 7
Volume = 248 cm³

14. Cube écorné (1) Volume = 6 x 6 x 6 - 8
Volume = 208 cm³

15. Pavé écorné Volume = 6 x 7 x 5 - 3 x 3 x 3
Volume = 183 cm³

16. Cube suspendu Volume = 4 x 4 x 4 + 7 x 7 +2
Volume = 115 cm³

17. Cube écorné (2) Volume = 9 x 9 x 9 + 8 * (4 x 4 x 4)
Volume = 217 cm³

18. Cube et pavés Volume = 4 x 4 x 4 + 4 x 6
Volume = 88 cm³

19. Cube écorné (3) Volume = 5 x 5 x 5 - 8 x 4
Volume = 93 cm³

20. Pavé évidé Volume = 7 x 7 x 4 - 2 x 3 x 4
Volume = 172 cm³

21. Croix (3) Volume = 4 x 8 x 8 - 4 x (2 x 2 x 4)
Volume = 192 cm³

22. Pavé écorné (2) Volume = 8 x 6 x 5 - (2 x 2 x 2 + 3 x 3 x 3)
Volume = 205 cm³

23. Pavé troué Volume = 9 x 8 x 7 - 9 x 6 x 5
Volume = 234 cm³

24. Cube sans arêtes Volume = 5 x 5 x 5 + 6 x 5 x 5
Volume = 275cm³

25. Une bande sur un cube Aire = 6 x (8 x 8) - 4 x (2 x 8)
Aire = 320 cm²

26. Cube traversé Volume = 9 x 9 x 9 - 16 x 9
Volume = 585 cm³

27. Des croix sur un cube Volume = 9 x 9 x 9 - 6 x 9 - 8
Volume = 281 cm³

28. Le mange-cube (1) Volume = 3 x 21 + 2 x 9
Volume = 81 cm³

29. Des bandes sur un cube Aire = 8 x 3 x 3 x 3
Aire = 216 cm²

30. Le mange-cube (2) Volume = 3 x 29 + 2 x 12
Volume = 111 cm³

31. Cube strillé Volume = 7 x 7 x 7 - 9 x 6 - 12
Volume = 277 cm³

Géogebra 3D : Utilisation et exemples d'activités

S. Petitjean — 2014-09-20T05:14:52Z

I. Présentation

Geogebra depuis sa version 5 intègre une fenêtre 3D dans laquelle nous pouvons évoluer dans l'espace. Cette intégration est récente, donc imparfaite mais permet tout de même de travailler avec les élèves. Les fonctionnalités s'amélioreront au fil du temps à n'en pas douter.

Nous ne présentons ici que des exemples d'utilisation possible par les élèves que ce soit en classe (avec un vidéo-projecteur) ou en salle informatique, l'objectif étant de leur faire manipuler des solides, des sections, des patrons ...
Bien que les fichiers proposés puissent servir de démonstration devant les élèves, ce n'est pas leur finalité. Il existe sur le net foison de fichiers Geogebra de meilleure qualité et plus adaptés à la seule visualisation. Il est possible aussi de les créer soi-même.

Toutes les activités Géogebra3D disponibles sur ce site sont regroupées dans la section "Les accompagnements du livre La troisième dimension" (suivre ce lien).

II. L'interface

L'interface 3D est assez complète et complexe pour des élèves de collège : on y trouve beaucoup d'outils présents dans la fenêtre classique de géométrie plane et d'autres spécifiques à la géométrie dans l'espace. Ainsi, pour que les élèves puissent l'utiliser sans trop de difficultés, il est nécessaire de limiter les outils mis à leur disposition (voir "barre d'outils personnalisée" du menu "outils").

Il peut être utile dans certain cas de garder ouverte la fenêtre 2D. En effet, elle correspond au plan (xOy) de la fenêtre 3d. Ces deux fenêtres sont liées c'est à dire que tout ce qui est construit dans l'une apparaît dans l'autre. Cela permet aux élèves de mieux appréhender la géométrie dans l'espace.

interface 3D (cliquer pour agrandir)

III. Quelques exemples

1. Construire des sections

Nous proposons une ou plusieurs des activités suivantes tirées du livre La troisième dimension dont l'objectif est d'aborder les sections du cube et de la pyramide.

Mêmes sections ?

Sections d'un cube /1

Sections d'un cube /2

section de pyramide /1

Ces activités ont été construites pour se suffire à elle-mêmes mais nous pouvons utiliser les deux fichiers GeoGebra suivants afin de faire construire par les élèves les sections proposées, collectivement en classe entière ou individuellement en salle informatique (cliquez sur les images pour obtenir le fichier).

section d'un cube

section d'une pyramide

La manipulation de l'espace graphique 3D permet aux élèves de mieux visualiser, de comprendre facilement la notion de vue. De plus, il peuvent vérifier rapidement si leur section est bien plane. En effet, l'outil "polygone" ne fait apparaître de surface que si le polygone se situe dans un plan, sinon il reste vide (voir le fichier suivant).

une section qui n'en est pas une

2. Visualiser-manipuler un solide

les pyramides

Dans l'activité suivante, le support est uniquement informatique sous la forme d'un fichier Geogebra. Les élèves devront produire un compte-rendu de ce qu'ils ont observé, manipulé et constaté.

Les consignes suivent trois phases :

Observer/décrire les pyramides en manipulant les points colorés verts et oranges.
Utiliser l'outil "lier/libérer un point" pour pouvoir déplacer le sommet de la pyramide dans n'importe quel sens. Déplacer les points et observer/décrire.
Utiliser l'outil "patron", un nouveau curseur apparaît. Déplacer les points puis observer/décrire.
Observer/décrire la section d'une pyramide en déplaçant le point rouge.

Voici quelques captures d'écran de ce que l'on peut observer (cliquez sur celles-ci pour avoir un agrandissement) :

pyramide à base pentagonale

vers le cône

patron dans les deux fenêtres

animation d'un patron

animation d'un autre patron

Il faudra sans doute aider les élèves à se poser des questions, les consignes étant très vagues. Nous pouvons en tous cas les guider afin qu'ils comprennent les points suivants :

le lien entre la pyramide et le cône lorsque l'on accroît le nombre de côtés du polygone de base (point orange)
la nature de la section d'une pyramide et d'un cône, une description de la manière de couper la pyramide (point rouge).
une description du patron d'une pyramide en fonction du nombre de côtés du polygone et en fonction de la position du sommet par rapport à la base.

Pour inciter les élèves à la manipulation, nous pouvons leur demander de déterminer le nombre de sommets, de faces et d'arêtes en fonction du nombre de côtés de la base (des exemples d'abord puis une généralisation).

Pour le travail sur les patrons, nous pouvons demander aux élèves de positionner le sommet d'une pyramide à base carrée dans différentes positions (au dessus d'un des sommets de la base, au dessus du milieu d'une arête de la base, la projection se trouvant à l'intérieur de la base, à l'extérieur...) et d'observer l'effet sur le patron. Nous pouvons ensuite leur demander de conjecturer à propos de la position du projeté orthogonal du sommet sur le patron en se plaçant dans la fenêtre 2D. Le propos est illustré ci-dessous.
Un travail similaire peut être demandé sur le projeté orthogonal en prenant comme base un polygone ayant un nombre impair de côté (triangle, pentagone par exemple).

Attention : il faut utiliser l'outil "droite" pour joindre les sommets du patron dans la fenêtre 2D, le tracé d'un segment sur le patron peut faire planter Géogebra.

projeté du sommet d'une pyramide à base carrée

projeté du sommet d'une pyramide à base triangulaire

Cette activité peut être déclinée avec les autres solides étudiés au collège : prisme, cylindre, cône. Des fichiers Geogebra sont disponibles dans la section "Les accompagnements du livre La troisième dimension", suivre ce lien.

Ces exemples ne sont que des illustrations de ce qu'il est possible de faire avec les élèves en utilisant la fenêtre 3D de Geogebra, le point essentiel étant de simplifier au maximum les outils et la situation.

Les accompagnements

S. Petitjean — 2012-05-06T15:52:52Z

Cette rubrique sera complétée progressivement au gré des demandes et des propositions qui nous seront faites par les enseignants utilisant ce livre dans leur classe.
Vous pouvez proposer vos idées ou nous adresser vos remarques et demandes à l'adresse suivante : spetitjean3@ac-paris.fr

Les activités du livre dans des séquences d'enseignement

Certaines activités de ce livre ont été utilisées dans le cadre de séquences d'apprentissage qui sont publiées sur ce site. Y sont détaillés le choix des activités par rapport aux objectifs d'apprentissage, leur progression durant la séquence et leur mise en oeuvre avec les élèves. Ces séquences ne doivent être abordées que comme des exemples d'utilisation et de progression. Elles concernent les niveaux de 6è, 5è et 4è.
Ces ressources se trouvent dans la section articles pédagogiques.

Les activités du livre ayant des accompagnements

Les accompagnements peuvent être :

des images ou des vidéos permettant de mieux visualiser les solides proposés,
des éléments de corrections,
des liens vers des logiciels, des leçons,
des liens vers d'autres activités similaires ou complémentaires...

Voici la liste de toutes les activités présentes dans le livre qui sont concernées par des accompagnements :

Construction de solides avec des cubes

S. Petitjean — 2012-05-06T15:52:36Z

Les objectifs :

L'objectif de ce logiciel est de travailler le repérage dans l'espace, la vision dans l'espace, ainsi que la notion de volume en permettant à l'élève de construire des solides.
Ainsi, il devra utiliser celui-ci pour construire les solides et trouver leurs volumes mais devra progressivement s'en passer pour faire appel à des représentations mentales et à des raisonnements.

On peut remplacer ce logiciel (qui peu à peu devient obsolète) par des activités utilisant GeoGebra. Pour cela, voir l'article : Visualiser dans l'espace pour calculer des volumes

Présentation et Installation :

Le logiciel est un programme flash. Cliquez sur l'image pour ouvrir ce programme dans un navigateur (le plugin flash est nécessaire).

Pour installer ce programme sur un poste en local (multi-plateformes), une version AIR est disponible. Cette version à l'avantage d'être plus rapide que la version sur internet, d'éviter les problèmes de connexion et de pouvoir la garder en archive chez soi. (obsolète, adobe air n'étant plus maintenu. La version dans le navigateur marche encore actuellement.)

~~Pour l'installation, il faut suivre cette démarche :~~

~~Télécharger et installer l'environnement Adobe Air en suivant ce lien.~~
~~Télécharger le fichier "Comptage_cube_air.air" en suivant ce lien, puis double-cliquez dessus pour commencer l'installation.~~

~~Il est possible de vérifier si des mises à jour sont disponibles avec une connexion internet dans le menu "Rechercher".~~

Utilisation du programme flash

il y a 3 menus distincts :

Fichier : permet d'ouvrir, enregistrer les solides et exporter une image de la scène. En accès professeur, l'enregistrement permet d'accéder à d'autres paramètres de configuration. Il pourront être modifiés par la suite via l'onglet "modifier les paramètres".
Solides : permet d'accéder à une série de solides préconfigurés.
Recherche : permet de rechercher d'autres solides sur le site de l'IREM, de proposer des solides par envoi par mail...

Les barres d'outils :

par défaut apparaît les différents outils qui permettent de construire le solide et de configurer la scène. Ils sont assez intuitif, il suffit d'essayer pour comprendre leur fonctionnement.
Dans le cas de l'ouverture d'un solide comme modèle, une boîte apparaît permettant à l'élève de voir l'énoncé et de saisir une réponse.

La configuration des modèles se fait lors de l'enregistrement du solide en mode professeur. Il suffit de remplir les champs de saisie, de décocher le bouton "solide visible sur la scène" et de cocher le bouton "miniature comme modèle".

Détail du menu "solides" :

La progression des solides est volontaire mais peut être changée.

L'élève travaille sur l'outil informatique en utilisant le menu "Solides" et dispose d'une feuille de papier sur laquelle il notera les procédures de calcul qui lui ont permis de calculer les volume des différents solides.

D'autres solides sont disponibles dans le menu "Rechercher". Vous pouvez aussi les visualiser ici.

solide1 et solide 2 :

Ces deux premières figures permettent à l'élève de se familiariser avec la construction de solide. Il n'est pas si évident de se repérer dans cet environnement. En effet, pour réaliser ces solides, il doit comprendre qu'il lui faut procéder par empilement de proche en proche et choisir des repères stables : par exemple, la face représentant le sol. Sans cela, un cube visible peut correspondre à plusieurs autres cubes ayant des cordonnées différentes.

solide 3 :

Ce solide est un cube 5*5*5 auquel on a enlevé les 8 cubes à chaque sommet. La procédure attendue est de calculer le volume du cube puis d'enlever le volume des 8 petits cubes.

Lors de la construction du solide, l'élève peut découvrir par dénombrement le volume du cube. Puis avec l'obligation d'écrire un calcul, il devra chercher à généraliser et trouver "la formule" permettant le calcul.
Pour aller plus vite dans la construction, il est possible d'utiliser l'outil "rangée" et d'enlever les cubes de trop.

Pour les élèves ayant des difficultés à démarrer ou à construire le solide, on peut leur demander de procéder par étapes : d'abord, on peut leur demander de construire la rangée de cubes posée sur le sol, enlever les cubes en trop, puis la rangée supérieure et ainsi de suite... jusqu'à ce qu'il réalise de lui-même l'existence de procédures plus simples.

solide 4 :

Ce solide est entouré d'un ruban. L'élève doit trouver l'aire coloriée en vert. La procédure attendue est de calculer l'aire totale du cube puis de lui soustraire l'aire du ruban rouge.

Le but de ce problème est de permettre à l'élève de faire la différence entre le volume d'un solide et l'aire de ses faces.

solide 5 :

Ce solide est un cube 8*8*8 auquel on a enlevé un pavé 4*4*7. La procédure attendue est donc de calculer le volume du cube, celui du pavé puis d'en faire la différence.

L'élève devra s'interroger sur la procédure permettant le calcul du volume du pavé (avec toujours la possibilité de construire et de dénombrer).

solide 6 :

Ce solide est un pavé 8*6*5 auquel on a enlevé un cube 2*2*2 et 3*3*3. La procédure attendue est évidente.

solide 7 :

Un cube vert 9*9*9 est traversé par un solide rouge rappelant la forme d'un prisme à base triangulaire. On demande le volume du solide vert.
La procédure est donc la différence entre les volume des deux solides.

L'élève doit s'interroger sur la manière de calculer le volume du solide rouge. Lorsqu'un élève est bloqué, on peut lui demander de construire ce solide. L'utilisation de l'outil "rangée" est alors très efficace et peut aider l'élève à découvrir la procédure de calcul : nombre de cubes dans une rangée * nombre de rangée.
Cela correspond en terme de dénombrement à la formule : hauteur * aire de la base.

solide 8 :

Ce solide est un pavé 8*8*4 auquel on a enlevé quatre pavés 4*2*2.
La procédure est un peu plus complexe que précédemment.

solide 9 :

Un cube 10*10*10 est formé de deux solides identiques en forme de "L" et d'un pavé 10*6*4 qui le traverse de par en par.

La procédure attendue est : (10*10*10-10*6*4)/2.
Celle-ci est complexe et demande un travail de vision et d'organisation de calcul important. La construction du solide bleu peut contribuer à la recherche de la solution.

solide 10 :

Ce solide à l'allure d'un paquet cadeau. C'est un cube vert 7*7*7 entouré de rubans rouges. On demande de calculer l'aire verte.

La procédure experte est de calculer l'aire totale du cube (4*7*7) et d'y enlever l'aire coloriée en rouge (6*13).

Ce problème est l'occasion de bien des débats quant à la manière de procéder.

GéoTortue 3D : utilisation et exemples d'activités

S. Petitjean — 2012-02-04T20:08:17Z

I. Présentation

GeoTortue est un logiciel libre soutenu par l'IREM Paris Nord. Il est inspiré du langage de programmation Logo qui consiste à déplacer une tortue sur un plan à l'aide de commandes. Pour avoir davantage de précision sur ce logiciel et le télécharger, veuillez suivre ces liens :

le site officiel de GéoTortue (informations et téléchargement)
les pages dédiées à GéoTortue sur le site de l'IREM (géométrie plane)

GéoTortue se distingue de plus parce qu'il étend son champ d'application à la géométrie dans l'espace. En effet, la tortue peut tout aussi bien évoluer dans le plan que dans un espace à trois dimensions.

II. Configuration et fonctionnement

Pour faire évoluer la tortue en 3D, il suffit d'aller dans le menu "outil", "préférences", "mathématiques" et de sélectionner "espace euclidien 3D"

Pour déplacer la tortue dans cet espace à trois dimensions, il faut utiliser les commandes suivantes :

les commandes "classiques" : av (avance), re (recule), td
(tourner à droite), tg (tourner à gauche),
les commandes "spécifiques" : pvd (pivoter à droite), pbg
(pivoter à gauche), pvb (pivoter vers le bas), pvh (pivoter vers le
haut)

Pour naviguer dans cet espace, on peut :

utiliser la molette pour zoomer et dézoomer (à activer dans les
préférences)
ctrl + clic droit pour faire une rotation suivant l'axe (X) ou
suivant l'axe (Y)
shift + clic droit pour faire une rotation suivant l'axe (Z)

Une option qui peut être très utile pour se diriger est de montrer le repère (dans l'onglet "affichage").

III. Construire avec GéoTortue

Il n'y a pas besoin de chercher très loin des activités intéressantes à réaliser avec les élèves car l'objectif principal est de plonger les élèves dans un véritable espace en trois dimensions. Ainsi, des petits problèmes de construction simple peuvent déjà présenter des difficultés importantes pour les élèves. En effet, la véritable difficulté est de se repérer correctement dans l'espace et d'utiliser les commandes de rotation à bon escient. Ces activités peuvent être données tout au long du collège.

Quelques exemples de construction :

construire un cube "fil de fer"
construire un cube "plein" en utilisant une procédure "carré".
construire un cube "plein" en prenant comme point de départ le centre du cube.
construire une pyramide.

Un problème plus élaboré :

Le solide ci-contre est composée de quatre cubes. Reproduire ce solide.

On pourra donner une procédure "cube" toute faite centrée sur le centre du cube ou leur demander de l'écrire avant.

IV. Visualiser avec GéoTortue

On peut aussi se servir de GéoTortue pour visualiser et manipuler des solides déjà fabriqués.

Ces solides peuvent être utilisés dans le cadre d'un travail de description : nombre de sommets, d'arêtes et de faces, classement par type de solide ...

Ce genre de travail est essentiel pour forcer l'élève à imaginer ce qui est caché et à se forger de bonnes représentations mentales.

On peut de plus leur demander de construire certains de ces solides avec du papier cartonné sans autres consignes que celle-là. Cela forcera les élèves à concevoir et à se débrouiller avec les nombreuses contraintes inhérentes à la taille des feuilles de papier fournies. Des questions sur la manière de construire, sur le fait de ne pas gâcher de papier et bien d'autres encore apparaîteront durant ce genre d'activités.

Voici une série de solides, il suffit de cliquer sur l'image pour obtenir le fichier GéoTortue. Ensuite, il suffit de lancer "demo" pour tracer le solide et le voir s'animer ou bien de lancer "demo_fixe" pour tracer le solide et le manipuler à sa guise en utilisant les rotations autour des axes (voir plus haut pour des précisions).

Le cube

L'octaèdre

Le tétraèdre

L'octacube

Pour aller plus loin ou uniquement par curiosité, voici de célèbres solides :

Le dodécaèdre

Le grand dodécaèdre

Le grand icosaèdre

L'isocaèdre

L'icosidodécaèdre

Les logiciels

S. Petitjean — 2012-02-04T19:50:55Z

- La troisième dimension / article_espace_logiciel

La troisième dimension (version numérique)

S. Petitjean — 2012-02-04T19:42:48Z

Ce livre est un recueil d'activités sur la géométrie dans l'espace. Il s'adresse d'abord au professeur de mathématiques de collège, mais le professeur des écoles y trouvera aussi de nombreuses activités pour ses élèves.

Quelles difficultés rencontrent les élèves en géométrie dans l'espace ? une opinion répandue tant chez les élèves que chez les professeurs voudrait que la faculté de « voir dans l'espace » serait innée. Nous sommes convaincus, au contraire, que ce qu'on appelle « voir dans l'espace », cela s'apprend, et qu'il s'agit essentiellement d'une familiarisation avec les représentations planes usuelles de l'espace : les perspectives, les sections, les patrons, les vues de face, de côté, etc ... Cet ouvrage propose à l'élève de se forger une intuition de ces différentes représentations planes en les mettant constamment en rapport, soit avec les objets en trois dimensions qu'elles représentent, soit les unes avec les autres, et en commençant par des activités a priori élémentaires de pliage ou de dessin.

Nous avons fait le choix de proposer l'ensemble des activités sous forme de fichiers pdf monochromes et optimisés pour l'impression. Nous estimons en effet que la qualité visuelle d'une activité est essentielle à fortiori quand il s'agit de géométrie dans l'espace. Les photocopies de pages couleurs d'un livre donnant souvent de médiocres résultats, ces fichiers sont téléchargeables librement sur cette page. Nous comptons sur la plus-value que représente la couleur et sur le plaisir que l'on peut ressentir à feuilleter un livre pour que cet ouvrage se diffuse en dehors de sa version numérique... (pour le commander se diriger ici).

La troisième dimension (le livre)

S. Petitjean — 2012-02-04T19:37:48Z

Cet ouvrage propose à l'élève de se forger une intuition de ces différentes représentations planes en les mettant constamment en rapport, soit avec les objets en trois dimensions qu'elles représentent, soit les unes avec les autres, et en commençant par des activités a priori élémentaires de pliage ou de dessin.
Nous avons fait le choix de proposer l'ensemble des activités sous forme de fichiers pdf monochromes et optimisés pour l'impression. Nous estimons en effet que la qualité visuelle d'une activité est essentielle à fortiori quand il s'agit de géométrie dans l'espace. Les photocopies de pages couleurs d'un livre donnant souvent de médiocres résultats, ces fichiers sont téléchargeables librement sur cette page du site.

Nous comptons sur la plus-value que représente la couleur et sur le plaisir que l'on peut ressentir à feuilleter un livre pour que cet ouvrage se diffuse en dehors de sa version numérique...

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Quelques extraits

Les auteurs

Coordination et mise en page
Stéphan Petitjean

Conception des activités
Erwan Adam
Jean-François Jamart
Stéphan Petitjean
Salvatore Tummarello
Michel Bourbion

Sous la direction de
Frédéric Clerc