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Angles, parallélogrammes et programmation au cycle 4


Sommaire :




Les fichiers informatiques présents dans cet article sont tous accessibles depuis le site d’activités informatiques de l’IREM Paris Nord : Rubricamaths. L’utilisation de celui-ci permet un accès simple aux activités et permet d’individualiser le travail avec les élèves.

Concernant les fichiers GéoTortue, un accès encore plus simple est conseillé. Ils sont , en effet, proposés directement depuis le logiciel via l’onglet "activités" puis "catalogue en ligne". Par contre, il faut disposer de GéoTortue en version 4 (beta).

GéoTortue a notre prédilection mais rien n’empêche de transposer les activités proposées dans cet article sur les logiciels DGPad ou Scratch.



Comparer et reproduire des angles


1. Activité Papier : comparer des angles


Cette activité a pour but de comparer les angles sans qu’il soit question de mesure de manière à ce que l’élève appréhende l’angle en tant qu’objet géométrique au même titre que le segment ou la droite. La question de la mesure de l’angle sera abordée par la suite.

Ainsi dans cette activité, l’utilisation du compas est suggérée. Il est sans doute utile de montrer (ou remontrer) la reproduction d’un angle au compas en cours d’activité.


2. Activité Papier : Reproduire des angles


La fiche ci-contre est proposée aux élèves pour consolider ce qui a été vu précédemment dans le cadre de la construction de triangle. Le rapporteur est toujours interdit.


3. Bilan :

Un rappel sur l’utilisation du rapporteur est fait. Il est alors demandé de mesurer les angles des fiches précédentes et d’en vérifier les résultats.

Pour les élèves qui sont en difficultés concernant la mesure des angles, les activités de géométrie mentale sur support Geogebra peuvent leur être proposées :

PNG - 4.2 ko
Mesure d’un angle saillant en degrés
PNG - 4 ko
Mesure d’un angle en degré
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Angles et parallélisme


1. Activité Informatique : La course de bateaux


Après avoir travaillé sur l’angle en tant qu’objet (activité papier), nous proposons aux élèves un travail sur l’angle et la mesure des angles avec GéoTortue.

L’environnement GéoTortue permet de s’affranchir momentanément des contraintes des tracés sur papier et de l’utilisation du rapporteur dans l’étude des angles, tout en étudiant leur mesure.

Notions rencontrées :

  • Évaluation de la mesure d’un angle
  • Angles de rotation
  • Angles supplémentaires
  • Angles complémentaires
  • Lien entre angle et parallélisme (angles correspondants).


Préparation de l’activité :

Les différents trajets sont programmés en langage LOGO. Il faut donc disposer du logiciel GeoTortue, puis il suffit de télécharger le fichier GéoTortue suivant : Course de bateaux.

Pour toute information concernant le logiciel GeoTortue (téléchargement, utilisation ...), vous pouvez consulter la section du site qui lui est consacré en suivant ce lien : le logiciel GeoTortue


Présentation de l’activité :

Pour la plupart des élèves, cette activité est le premier contact avec l’environnement GéoTortue. Il faut donc commencer par une rapide présentation des commandes de bases et leur laisser quelques instants pour se les approprier.

Ceci étant fait nous pouvons leur proposer de démarrer l’activité proprement dite.

Après avoir tapé "trajet1" dans la zone de commande, l’élève se retrouve avec ceci sur l’écran :

Le but de l’activité est de franchir la ligne d’arrivée, matérialisée par le rectangle, en faisant le plus court trajet et en respectant les règles de navigation en mer à savoir, obligatoirement passer à droite des bouées bleues et à gauche des bouées rouges.

L’élève doit donc se débrouiller par essais successifs pour d’abord amener la tortue sur la ligne d’arrivée, puis ensuite pour améliorer la longueur totale de son trajet.

Il est nécessaire d’imposer progressivement une nouvelle règle en cours d’activité qui est généralement accueillie favorablement par les élèves : donner le moins d’ordres possible à la tortue. Il est prématuré d’imposer cette règle dès le départ car elle peut empêcher la recherche à tâtons.


Chaque élève reçoit un document récapitulant les consignes et sur lequel il pourra noter ses essais


Le trajet attendu est le suivant :
Le trajet des élèves doit tendre vers cette suite de commandes :

av 100 ; td 62 ; av 230 ; tg 62 ; av 140

Ainsi, la longueur totale du trajet doit se rapprocher de 470.

Bien que l’enjeu de l’activité ne se situe pas là , le calcul de la longueur du trajet a son importance. En effet, il crée une émulation entre les élèves, permet au professeur de vérifier la pertinence du trajet de l’élève rapidement. Il permet aussi de faire le point sur les différentes mesures avec les élèves qui additionnent les mesures d’angle et les longueurs pour calculer la longueur totale du trajet.

L’objectif principal de l’activité concerne les angles et plus particulièrement le moment où l’élève doit redresser la tortue pour passer la bouée rouge et franchir la ligne d’arrivée. Il doit intuitivement comprendre que le trajet le plus court est de revenir à la verticale. On donne ainsi une image mentale simple du lien entre une égalité d’angles (les angles correspondants) et le retour à une direction de départ (le parallélisme).

Une fois ce trajet terminé, l’élève passe au deuxième en tapant "trajet2", puis au troisième de la même manière.


Les trajets attendus sont les suivants :
Cette fois-ci, le principal enjeu se situe dans la recherche de la mesure de l’angle permettant le passage de la 2è bouée bleue.

Cet angle se trouve par analogie avec le trajet précédent en replaçant la tortue à la verticale vers le haut puis en lui appliquant un demi-tour (angle de 180°).

Il est important de s’assurer que l’élève transforme bien les deux ordres ( tg angle puis td 180) en un seul (td 180-angle), en vertu de la règle de donner le moins d’ordres possible à la tortue.

Cela permet d’aborder la notion d’angles supplémentaires.


Le dernier trajet se complexifie encore :
Le 2è angle s’obtient en constatant qu’il faut un angle de 90° par rapport à la position de départ de la tortue, donc que la somme des 1er et 2è angles est égale à 90° (angles complémentaires).

Le 3è angle s’obtient par les angles supplémentaires.

Le 4è angle s’obtient par les angles supplémentaires ou alors de manière intuitive en constatant directement qu’il doit être le même que le 2è angle.

Dans tous les cas, l’élève est amené à constater des égalités entre plusieurs angles et à les associer au parallélisme et au parallélogramme, le parcours de la tortue s’en approchant.


2. Activité papier et bilan :


Une activité bilan est distribuée aux élèves de façon à décontextualiser et à fixer les propriétés sur les angles qu’ils ont découvert ou senti, en particulier celle qui concerne le lien entre l’égalité des angles correspondants et le parallélisme de deux droites coupées par une sécante.

La correction de ce bilan et des différentes méthodes de construction en classe est l’occasion de s’assurer de la compréhension de ce lien par chacun.

De plus, cette activité papier permet de s’assurer que l’élève a transféré ce qu’il a appris sur le support informatique en géométrie classique

Ce bilan peut-être l’occasion d’introduire les termes d’angles correspondants, d’angles supplémentaires et d’angles opposés par le sommet

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Angles et polygones réguliers


1. Activité Informatique : Les polygones réguliers


Les élèves ont souvent comme référence l’angle de 90° pour raisonner. Cette activité se propose de changer ce point de vue pour que leur référence devienne l’angle de 360°.

Notions rencontrées :

  • Evaluation de la mesure d’un angle
  • Angles de rotation
  • Angles supplémentaires
  • Partage de l’angle de 360°
  • Initiation à la notion de variable et production d’une formule littérale.


Présentation de l’activité :

L’activité peut se réaliser à partir d’un fichier GéoTortue vide accompagné de la feuille de travail ci-contre ou à partir de l’activité "polygone régulier" accessible depuis l’onglet "activités" de GéoTortue, ce qui permet d’avoir les consignes directement dans le logiciel.

L’élève doit réaliser chacun des polygones réguliers à l’aide de GéoTortue et écrire les calculs qu’il a effectué. Il doit ensuite rédiger le programme correspondant à la figure en ayant le souci d’écrire le moins d’ordre possible. La dernière ligne est réservée à la fin de l’activité


L’élève cherche donc à réaliser ces figures par essais mais se retrouve assez vite bloqué, ne sachant comment trouver l’angle de rotation. Il est alors utile de s’appuyer sur le carré, à l’aide duquel on fera constater que la tortue a fait un tour complet pour dessiner ce carré et que ce tour complet mesure 360° (4 x 90°).

Ainsi, pour réaliser les figures, il doit comprendre comment partager l’angle de 360°.

Il est possible que certains élèves ne soient pas bloqués car ils utilisent d’autres raisonnements que le raisonnement précédent ou bien parce qu’ils ont adopté une technique par essais qu’ils jugent efficace. Il est alors nécessaire de montrer les limites de leur méthode en augmentant le nombre de côté des polygones proposés : par exemple un dodécagone ou un polygone régulier à 15 côtés (l’angle étant 24°).

Une fois que toutes les figures ont été réalisées, le professeur explique sur les premières figures comment utiliser la commande "rep" afin de faciliter l’écriture des programmes GéoTortue.

Ainsi, le programme LOGO du carré devient :
rep 4 [ av 50 ; td 90]
Celui du triangle équilatéral devient :
rep 3 [ av 50 ; td 120]
Celui de l’octogone régulier devient :
rep 8 [ av 50 ; td 45]

L’élève doit écrire le programme associé à chaque figure sur la dernière ligne de la feuille.

Outre la facilité d’écriture, l’objectif est de permettre à l’élève de faire le lien entre le nombre de côté et l’angle de rotation du polygone.

Afin de s’assurer de la bonne acquisition de la démarche par l’élève, on lui demande ensuite de créer son propre polygone régulier (à inscrire dans la dernière colonne).

Il peut être judicieux à ce moment de l’activité de laisser une liberté importante aux élèves afin de stimuler leur curiosité : "Qu’est-ce que donne un polygone à 30 côtés ?". L’objectif est qu’ils testent plusieurs possibilités en faisant varier le nombre de côtés et en associant le bon angle.


2. Activité Informatique : Une procédure à deux variables


A la suite du travail précédent et à condition que les élèves aient déjà été initiés à l’écriture de procédure avec des variables (par exemple s’ils ont déjà produit une procédure carré ou rectangle), on peut leur demander d’écrire une procédure polygone utilisant deux variables.

Sinon, l’écriture de cette procédure pourra se faire de retour en classe après une mise en commun sur le travail effectué sur GéoTortue.


La procédure attendue est la suivante :

pour polygone nombre côté

rep nombre [ av côté ; td (360 / nombre)]

fin

Il est alors nécessaire de tester cette procédure avec les élèves à l’oral (qu’est-ce qu’on obtient lorsque l’on tape "polygone 5 80" ?) puis sur LOGO (avec un vidéo projecteur en classe) de manière à ce chacun d’entre eux visualise la finalité du travail qui leur a été demandé.
Afin d’utiliser cette procédure et vérifier qu’ils en ont compris le fonctionnement, nous pouvons les faire travailler sur des figures plus complexes.


3. Activité papier : Construction de polygones réguliers


Pour s’assurer du transfert de compétence entre le support informatique et le support papier, nous leur proposons de construire quelques polygones régulier à l’aide de leur rapporteur.La correction et le débat sur les différentes méthodes de construction est l’occasion de faire le point sur le rapport entre l’angle de rotation (celui de la tortue) et les angles convexes des polygones en constatant qu’ils sont supplémentaires.


4. Activité Informatique : Activités supplémentaires


Afin de gérer au mieux l’hétérogénéité des élèves ou d’utiliser le domaine des polygones réguliers pour enseigner de la programmation, nous pouvons proposer aux élèves de réaliser les procédures "rosace" et "assiette" qui utilise trois variables.

Ces activités sont accessibles directement dans les activités de GéoTortue sous le nom de : "des rosaces et des assiettes".

Voici une brève description de ce qui est attendu dans cette activité :


Le procédé pour les rosaces :


La procédure générale :

pour rosace nombre1 côté nombre2
rep nombre2 [ polygone nombre1 côté ; td (360 / nombre2)]
fin


Nous pouvons ensuite leur demander de créer leur propre rosace en les laissant jouer avec les variables.

Pour visualiser ce que les élèves peuvent obtenir :


Le procédé pour les assiettes :


La procédure générale :

pour assiette nombre1 côté nombre2
rep nombre2 [ polygone nombre1 côté ; av côté ; td (360 / nombre2)]
fin


Nous pouvons ensuite leur demander de créer leur propre assiette en les laissant jouer avec les variables. Nous pouvos aussi leur soumettre la questions suivante : À quelle condition les assiettes sont-elles des rosaces ?

Pour visualiser ce que les élèves peuvent obtenir :


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Le parallélogramme


1. Activité Informatique : A la découverte du parallélogramme


Cette activité propose de travailler sur la construction du parallélogramme en connaissant les mesures de deux côtés et d’un angle. Pour cela, l’utilisation de GéoTortue est toute indiquée puisqu’elle permet de faire intervenir plusieurs variables de manière très naturelle.


Notions rencontrées :

  • Construction d’un parallélogramme en connaissant les dimensions de deux côtés et d’un angle.
  • Ecrire un programme utilisant trois variables (procédure).
  • Organiser la construction de figures à base de plusieurs parallélogrammes.
  • Calculs d’angles (complémentaires/supplémentaires)


Présentation :

L’activité peut se réaliser à partir d’un fichier GéoTortue vide accompagné de la feuille de travail ci-contre ou à partir de l’activité "Quelques parallélogrammes" accessible depuis l’onglet "activités" de GéoTortue, ce qui permet d’avoir les consignes directement dans le logiciel.

L’élève doit réaliser chacun des parallélogrammes à l’aide de la tortue et écrire le programme correspondant en ayant le souci de donner le moins d’ordre possible. La dernière ligne est réservée à la fin de l’activité


Pour les trois premiers parallélogrammes, les dimensions des côtés ainsi que la mesure d’un angle sont donnés. Seule la position de l’angle change d’un cas sur l’autre de manière à ce que le lien entre les angles intérieurs et extérieurs du parallélogramme soit naturel pour l’élève.

La principale difficulté est de trouver la mesure du deuxième angle du parallélogramme. Pour cela, l’élève doit réinvestir ces connaissances sur les angles correspondants et supplémentaires.

Le dernier parallélogramme est le cas général. Il est demandé de remplacer les valeurs numériques des dimensions par ce qu’elles représentent et d’écrire le programme permettant la construction du parallélogramme. L’élève écrit en fait une procédure qui permettra de réaliser tous les parallélogrammes.

La procédure attendue est :

pour parallélogramme L1 L2 a av L1
td a
av L2
td (180 - a)
av L1
td a
av L2
td (180 - a)
fin
ou bien :

pour parallélogramme L1 L2 a
rep 2 [ av L1 ; td a ; av L2 ; td (180 - a)]
fin

Une aide particulière doit être apportée aux élèves pour le deuxième angle du parallélogramme qui s’écrit 180 - a. Il est nécessaire de leur demander de revenir sur les moyens qu’ils ont mis en œuvre pour trouver cet angle dans les cas numériques afin de les aider à généraliser.

Ensuite, il leur est demandé d’écrire cette procédure dans la fenêtre droite de GeoTortue puis d’en tester la validité en réalisant de nouveau les trois premiers parallélogrammes. L’expression permettant de réaliser ces parallélogrammes à l’aide de la procédure doit être écrite dans la dernière ligne du tableau.

Il peut être utile de le faire avec eux à l’aide d’un vidéoprojecteur de manière à fournir des explications sur l’utilisation des procédures. Les réponses attendues sont :

parallélogramme 100 50 40
parallélogramme 70 120 150
parallélogramme 135 80 60


2. Bilan :


De retour en classe, un bilan sur le travail effectué en salle informatique est réalisé. Il est nécessaire de reprendre la conception de la procédure parallélogramme étape par étape, d’en revoir les objectifs (pourquoi on fait cela ?) et les applications (à quoi ça sert ?) afin de ne laisser aucun élève de côté. Il faut sans doute insister et réexpliquer l’expression du deuxième angle (180 - a).

Des tracés de parallélogrammes sur papier blanc sont alors donnés aux élèves afin de réinvestir et de consolider les notions abordées sur le support informatique.

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Avec des parallélogrammes


1. Activité Informatique : Construire avec des parallélogrammes


Présentation :

L’objectif principal de cette activité est de s’assurer que chaque élève maîtrise l’utilisation de la procédure parallélogramme dans différentes situations. Cette activité est aussi l’occasion de mettre l’élève en position de recherche dans la réalisation de figures plus complexes où interviennent des calculs d’angles et de longueurs.


L’activité peut se réaliser à partir d’un fichier GéoTortue vide accompagné de la feuille de travail ci-contre ou à partir de l’activité "Quelques parallélogrammes" accessible depuis l’onglet "activités" de GéoTortue, ce qui permet d’avoir les consignes directement dans le logiciel.

L’élève doit réaliser chacune des figures à l’aide de la tortue en utilisant la procédure parallélogramme et écrire le programme correspondant en ayant le souci d’écrire le moins de commandes possible.


Les figures 1 et 2 sont des applications directes du travail réalisé lors de la première partie de l’activité.

Les figures 3, 4 et 5 sont plus complexes et font intervenir les propriétés du parallélogramme dans les calculs d’angles et de longueurs. De plus, l’utilisation d’angles particuliers est nécessaire à leur construction : angle plat (figure 1), partage de l’angle droit (figure 2) et partage de l’angle de 360° (figure 3).

Enfin, la réalisation des figures 4 et 5 peut être l’occasion de réinvestir l’utilisation de la commande rep (repete) pour les élèves les plus avancés. En effet, son utilisation permet de raccourcir considérablement les programmes.


2. Bilan :


Comme bilan d’activité, il est demandé aux élèves de réaliser sur papier blanc les figures 3 et 4 de l’activité précédente en utilisant le compas et le rapporteur. Le souci reste de faire varier les supports afin de d’obtenir un transfert de compétences.

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Du parallélogramme aux quadrilatères particuliers


1. Activité papier : Le point sur les quadrilatères


Afin de préparer la suite de la séquence, l’activité papier suivante est proposée.

Elle permet aux élèves de réactiver leurs connaissances concernant les quadrilatères. La correction est l’occasion d’une mise en commun, puis d’une formalisation des définitions du rectangle, du losange et du carré.


2. Activité informatique : Du parallélogramme aux quadrilatères


Les élèves ont souvent des difficultés pour caractériser les quadrilatères particuliers et pour faire le lien entre ceux-ci et le parallélogramme. Les raisons sont multiples mais les principaux obstacles tiennent sans doute à la notion de condition nécessaire et suffisante et à la difficulté de l’illustrer à l’aide de tracés sur un support papier. Cette activité propose une alternative en supprimant dans un premier temps la construction sur papier et en déterminant les caractéristiques des quadrilatères à partir de la procédure parallélogramme définie lors de la précédente activité.


Notions rencontrées :

  • Découvrir le lien entre les quadrilatères particuliers et le parallélogramme.
  • Formuler les propriétés caractéristiques du carré, de rectangle et du losange à partir du parallélogramme.
  • Travail sur la notion de variable : fixer une ou deux variables pour obtenir des cas particuliers.
  • Organiser la construction de figures à base de plusieurs quadrilatères.
  • Calcul d’angles (complémentaires/supplémentaires).


L’activité peut se réaliser à partir d’un fichier GéoTortue vide accompagné de la feuille de travail ci-contre ou à partir de l’activité "Quelques quadrilatères particuliers" accessible depuis l’onglet "activités" de GéoTortue, ce qui permet d’avoir les consignes directement dans le logiciel.

Il doit réaliser chacune des figures à l’aide de la tortue en utilisant la procédure parallélogramme et écrire le programme correspondant.


La première figure n’est présente que pour s’assurer de la bonne utilisation de la procédure parallélogramme ainsi que pour permettre à l’élève de se rappeller l’ordre des variables (Longueur1, Longueur2, angle).

Pour réaliser les figures suivantes, il doit fixer une des variables (l’angle pour le rectangle et les côtés pour le losange) ou deux variables (l’angle et les côtés pour le carré). Aucune dimension n’est précisée afin de laisser l’élève procéder par essais et tester autant qu’il le souhaite la validité de ses réponses. Deux exemples dans chaque cas sont néanmoins demandés.

Ensuite, il doit répondre aux questions posées pour le guider et le mener aux propriétés caractéristiques du rectangle, du losange et du carré. Il est possible que certains écrits soient assez approximatifs et encore loin d’une formulation académique car la généralisation demandée pour répondre aux questions nécessite un saut qualitatif important de la part des élèves. Cela sera reformulé lors du bilan.

Nous pouvons ensuite proposer d’écrire les procédures rectangle, losange et carré à l’aide de la procédure parallélogramme. Ce travail sur les variables et la programmation de procédure pose un problème d’abstraction important. Ainsi, il n’est à proposer qu’aux élèves les plus avancés.

Les résultats attendus sont :

pour rectangle L1 L2
parallélogramme L1 L2 90
fin
pour losange L a
parallélogramme L L a
fin
pour carré L
parallélogramme L L 90
fin
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Avec des quadrilatères


1. Activité Informatique :


L’activité peut se réaliser à partir d’un fichier GéoTortue vide accompagné de la feuille de travail ci-contre ou à partir de l’activité "Quelques quadrilatères particuliers" accessible depuis l’onglet "activités" de GéoTortue, ce qui permet d’avoir les consignes directement dans le logiciel.


Pour réaliser la figure 1, l’élève doit faire un travail d’analyse afin de décomposer celle-ci en figures élémentaires. Il doit réaliser à la suite un rectangle, un losange et un carré en s’appuyant sur les propriétés de longueur et d’angle de chacun de ces quadrilatères. Afin d’enchaîner les figures, il doit déplacer et positionner correctement la tortue, ce qui implique plusieurs calculs d’angle (complémentaires et supplémentaires). La réalisation de cette figure est donc un bilan de tout ce qui a été vu jusqu’alors.

La figure 2 est un bâtiment dessiné en perspective cavalière. Elle est donnée sans aucune mesure de manière à laisser une totale liberté aux élèves. Il est évident que le choix d’un angle de 45° pour l’inclinaison de la profondeur simplifie la construction. Cette figure est longue et complexe pour les élèves car le positionnement de la tortue peut être parfois compliqué. Outre le fait de complexifier encore les constructions, le but est aussi de faire travailler les élèves sur la géométrie dans l’espace en commençant par leur faire réaliser que la perspective cavalière se dessine à base de parallélogrammes.

Comme bilan d’activité, il est demandé aux élèves de réaliser sur papier blanc la figure1 en utilisant le compas et le rapporteur.


2. Bilan :


A partir des réponses situées dans la 1ère fiche de travail, un bilan est réalisé sur les propriétés caractéristiques des quadrilatères :

  • un rectangle est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs formant un angle droit.
  • un losange est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.
  • un carré est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur et formant un angle droit.

La correction de la construction de la figure 1 de la deuxième activité est l’occasion de s’assurer de la bonne utilisation des instruments par les élèves et de vérifier l’acquisition des notions travaillées en salle informatique.

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Notions qui restent à étudier

Le travail détaillé dans cet article permet de caractériser le parallélogramme et les quadrilatères particuliers par leurs angles et les longueurs de leurs côtés. Pour que cet étude soit complète, il faudra caractériser le parallélogramme et les quadrilatères par leurs diagonales. GéoTortue n’est sans doute pas l’outil le plus adapté pour cela car le tracé d’un triangle n’y est pas aisé. Il faudra sans doute privilégier le logiciel Géogebra avec une approche basée sur la symétrie centrale (article à venir).

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