Angles et polygones réguliers

1. Activité LOGO : Les polygones réguliers

Les élèves ont souvent comme référence l’angle de 90° pour raisonner. Cette activité se propose de changer ce point de vue pour que leur référence devienne l’angle de 360°.

Notions rencontrées :

• Evaluation de la mesure d’un angle
• Angles de rotation
• Angles supplémentaires
• Partage de l’angle de 360°
• Initiation à la notion de variable et production d’une formule littérale.

Durée de l’activité : 2h en salle informatique à deux par poste.

Présentation de l’activité :

L’élève dispose d’une page LOGO avec seulement la tortue et de la fiche de travail ci-contre : Il doit réaliser chacun des polygones réguliers à l’aide de LOGO et écrire les calculs qu’il a effectué. Il doit ensuite rédiger le programme LOGO correspondant à la figure en ayant le souci d’écrire le moins d’ordre possible. La dernière ligne est réservée à la fin de l’activité

L’élève cherche donc à réaliser ces figures par essais mais se retrouve assez vite bloqué, ne sachant comment trouver l’angle de rotation. Il est alors utile de s’appuyer sur le carré, à l’aide duquel on fera constater que la tortue a fait un tour complet pour dessiner ce carré et que ce tour complet mesure 360° (4 90°).

Ainsi, pour réaliser les figures, il doit comprendre comment partager l’angle de 360°.

Il est possible que certains élèves ne soient pas bloqués car ils utilisent d’autres raisonnements que le raisonnement précédent ou bien parce qu’ils ont adopté une technique par essais qu’ils jugent efficace. Il est alors nécessaire de montrer les limites de leur méthode en augmentant le nombre de côté des polygones proposés : par exemple un dodécagone ou un polygone régulier à 15 côtés (l’angle étant 24°).

Une fois que toutes les figures ont été réalisées, le professeur explique sur les premières figures comment utiliser la commande "rep" afin de faciliter l’écriture des programmes LOGO.

L’élève doit écrire le programme associé à chaque figure sur la dernière ligne de la feuille.

Outre la facilité d’écriture, l’objectif est de permettre à l’élève de faire le lien entre le nombre de côté et l’angle de rotation du polygone.

Afin de s’assurer de la bonne acquisition de la démarche par l’élève, on lui demande ensuite de créer son propre polygone régulier (à inscrire dans la dernière colonne).

Il peut être judicieux à ce moment de l’activité de laisser une liberté importante aux élèves afin de stimuler leur curiosité : "Qu’est-ce que donne un polygone à 30 côtés ?". L’objectif est qu’ils testent plusieurs possibilités en faisant varier le nombre de côtés et en associant le bon angle.

Pour la suite de l’activité, nous pouvons proposer aux élèves les plus avancés de réaliser des figures plus complexes.

2. Activité papier et bilan :

A la suite de cette activité, une activité bilan est distribuée aux élèves où il leur est demandé de construire sur papier blanc plusieurs polygones réguliers à l’aide de leur rapporteur. Ils doivent ainsi réinvestir ce qu’ils ont compris lors de l’activité informatique. La correction et le débat sur les différentes méthodes de construction est l’occasion de faire le point sur le rapport entre l’angle de rotation (celui de la tortue) et les angles convexes des polygones en constatant qu’ils sont supplémentaires afin de permettre le transfert des compétences acquises à l’aide de la géométrie de la tortue dans le domaine de la géométrie classique.

Ensuite, de retour en classe, une mise en commun est faite sur le lien entre l’angle du polygone et le nombre de côtés du polygone.

Pour cela, un travail est engagé sur l’écriture d’une procédure "polygone" mettant en jeu 2 variables. La feuille de travail de l’activité LOGO sert de support à ce travail.

L’objectif est d’arriver à faire écrire aux élèves la formule :

Nous obtenons ainsi la procédure suivante :

pour polygone nombre côté

rep nombre [ av côté ; td (360 / nombre)]

fin

Cette procédure est notée dans un endroit spécifique du cahier de leçon.

Il est alors nécessaire de tester cette procédure avec les élèves à l’oral (qu’est-ce qu’on obtient lorsque l’on tape "polygone 5 80" ?) puis sur LOGO (avec un vidéo projecteur en classe) de manière à ce chacun d’entre eux visualise la finalité du travail qui leur a été demandé.